【題目】在平面直角坐標系中,O為原點,點A(8,0),點B(0,6),把△ABO繞點B逆時針旋轉得△A′B′O′,點A、O旋轉后的對應點為A′、O′,記旋轉角為α.
(1)如圖1,若α=90°,則AB= ,并求AA′的長;
(2)如圖2,若α=120°,求點O′的坐標;
(3)在(2)的條件下,邊OA上的一點P旋轉后的對應點為P′,當O′P+BP′取得最小值時,直接寫出點P′的坐標.
【答案】(1)10, ;(2)(,9);(3)
【解析】試題分析:(1)、如圖①,先利用勾股定理計算出AB=5,再根據旋轉的性質得BA=BA′,∠ABA′=90°,則可判定△ABA′為等腰直角三角形,然后根據等腰直角三角形的性質求AA′的長;(2)、作O′H⊥y軸于H,如圖②,利用旋轉的性質得BO=BO′=3,∠OBO′=120°,則∠HBO′=60°,再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出BH和O′H的長,然后利用坐標的表示方法寫出O′點的坐標;(3)、由旋轉的性質得BP=BP′,則O′P+BP′=O′P+BP,作B點關于x軸的對稱點C,連結O′C交x軸于P點,如圖②,易得O′P+BP=O′C,利用兩點之間線段最短可判斷此時O′P+BP的值最小,接著利用待定系數(shù)法求出直線O′C的解析式為y=x﹣3,從而得到P(,0),則O′P′=OP=,作P′D⊥O′H于D,然后確定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出P′D和DO′的長,從而可得到P′點的坐標.
試題解析:(1)、如圖①, ∵點A(4,0),點B(0,3), ∴OA=4,OB=3, ∴AB==5,
∵△ABO繞點B逆時針旋轉90°,得△A′BO′, ∴BA=BA′,∠ABA′=90°,
∴△ABA′為等腰直角三角形, ∴AA′=BA=5;
(2)、作O′H⊥y軸于H,如圖②, ∵△ABO繞點B逆時針旋轉120°,得△A′BO′,
∴BO=BO′=3,∠OBO′=120°, ∴∠HBO′=60°, 在Rt△BHO′中,∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°,
∴BH=BO′=,O′H=BH=, ∴OH=OB+BH=3+, ∴O′點的坐標為();
(3)∵△ABO繞點B逆時針旋轉120°,得△A′BO′,點P的對應點為P′, ∴BP=BP′,
∴O′P+BP′=O′P+BP, 作B點關于x軸的對稱點C,連結O′C交x軸于P點,如圖②,
則O′P+BP=O′P+PC=O′C,此時O′P+BP的值最小, ∵點C與點B關于x軸對稱, ∴C(0,﹣3),
設直線O′C的解析式為y=kx+b,
把O′(),C(0,﹣3)代入得,解得,
∴直線O′C的解析式為y=x﹣3, 當y=0時,x﹣3=0,解得x=,則P(,0),
∴OP=, ∴O′P′=OP=, 作P′D⊥O′H于D,
∵∠BO′A=∠BOA=90°,∠BO′H=30°, ∴∠DP′O′=30°,
∴O′D=O′P′=,P′D=, ∴DH=O′H﹣O′,
∴P′點的坐標為(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,l1反映了某公司銷售一種醫(yī)療器械的銷售收入(萬元)與銷售量(臺)之間的關系,l2反映了該公司銷售該種醫(yī)療器械的銷售成本(萬元)與銷售量(臺)之間的關系.當銷售收入大于銷售成本時,該醫(yī)療器械才開始贏利.根據圖象,則下列判斷中錯誤的是( )
A. 當銷售量為4臺時,該公司贏利4萬元
B. 當銷售量多于4臺時,該公司才開始贏利
C. 當銷售量為2臺時,該公司虧本1萬元
D. 當銷售量為6臺時,該公司贏利1萬元
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與軸交于點,與正比例函數(shù)的圖象相交于點,且.
(1)分別求出這兩個函數(shù)的解析式;
(2)求的面積;
(3)點在軸上,且是等腰三角形,請直接寫出點的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點E.在△ABC外有一點F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點N,連接ME.求證:①ME⊥BC;②DE=DN.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的一條弦,E是AB的中點,過點E作EC⊥OA于點C,過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點D.
(1)求證:DB=DE;
(2)若AB=12,BD=5,過D點作DF⊥AB于點F,
①則cos∠EDF= ;
②求⊙O的半徑.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中點O為坐標原點,AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標系中,將△ABC繞點B順時針旋轉,使點A旋轉至y軸的正半軸上的A′處,若AO=OB=2,則陰影部分面積為( 。
A. π B. π﹣1 C. +1 D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新華文具用品店最近購進了一批鋼筆,進價為每支6元,為了合理定價,在銷售前4天試行機動價格,賣出時每支以10元為標準,超過10元的部分記為正,不足10元的部分記為負。文具店記錄了這四天該鋼筆的售價情況和售出情況,如下表所示:
第1天 | 第2天 | 第3天 | 第4天 | |
每支價格相對標準價格(元) | +1 | 0 | -1 | -2 |
售出支數(shù)(支) | 12 | 15 | 32 | 33 |
(1)填空:這四天中賺錢最多的是第______天,這天賺了______元錢;
(2)求新華文具用品店這四天出售這種鋼筆一共賺了多少錢;
(3)新華文具用品店準備用這四天賺的錢全部購進這種鋼筆,進價仍為每支6元為了促銷這種鋼筆,每只鋼筆的售價在10元的基礎上打九折,本次購進的這種鋼筆全部售出后共賺了多少錢?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關注,某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度,采用了隨機抽樣調查的方式,并根據收集到的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調查的學生共有 人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角為 .
(2)請補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機抽取2人參加校園安全知識競賽,請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,將邊長為2的正方形OABC如圖①放置,O為原點.
(Ⅰ)若將正方形OABC繞點O逆時針旋轉60°時,如圖②,求點A的坐標;
(Ⅱ)如圖③,若將圖①中的正方形OABC繞點O逆時針旋轉75°時,求點B的坐標.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com