Question

12．已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合）△ADF是以AD為邊的等邊三角形過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線(xiàn)交射線(xiàn)AC于點(diǎn)E，連接BF
（1）如圖1，若△ABC的邊長(zhǎng)是2，求△ADF的最小面積；
（2）如圖1，求證：△AFB≌△ADC'；
（3）如圖2，若D點(diǎn)在BC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其它條件不變，請(qǐng)判斷四邊形BCEF的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ADF的面積最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=$\sqrt{3}$，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）利用有兩條邊對(duì)應(yīng)相等并且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形全等即可證明△AFB≌△ADC；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABF=∠ADC，進(jìn)而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，從而證得四邊形BCEF是平行四邊形．

解答 解：（1）由題意得當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，即△ADF的面積最小，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=2，BD=CD=1，
∴AD=$\sqrt{3}$，
∵△ADF是等邊三角形，
∴△ADF的最小面積=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；

（2）∵△ABC和△ADF都是等邊三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠BAF=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；

（3）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AD}\\{∠BAF=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB=∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，
∴∠ADC=∠EAF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，熟練掌握性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．