Question

17．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE和BD是它的兩條高，相交于點H，直線AH交⊙O于點F，求證：EH=EF．

Answer 1

分析 連接BF，由已知條件得出∠H+∠HBE=90°，∠C+∠HBE=90°，證出∠H=∠C，由圓周角定理得出∠C=∠F，得出∠H=∠F，證出BF=BH，再由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接BF，如圖所示：
∵△ABC內(nèi)接于⊙O，AE和BD是它的兩條高，
∴∠BEH=∠BDC=90°，
∴∠H+∠HBE=90°，∠C+∠HBE=90°，
∴∠H=∠C，
又∵∠C=∠F，
∴∠H=∠F，
∴BF=BH，
又∵AE⊥BC，
∴EH=EF．

點評 本題考查了三角形的外接圓、三角形的高、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)；通過作輔助線由圓周角定理證出∠H=∠F得出BF=BH是解決問題的關鍵．