Question

【題目】已知,在正方形ABCD中,點E在邊AD上,點F在邊BC的延長線上,且AE=CF,連接AC，EF.

(1)如圖①,求證：EF//AC；

(2)如圖②,EF與邊CD交于點G,連接BG,BE,

①求證:△BAE≌△BCG;

②若BE=EG=4,求△BAE的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②△BAE的面積為2.

【解析】

（1）利用平行四邊形的判定及其性質(zhì)定理即可解決問題；

（2）①根據(jù)SAS可以證明兩三角形全等；

②先根據(jù)等腰直角△DEG計算DE的長，設(shè)AE=a，表示正方形的邊長，根據(jù)勾股定理列式，可得+a=4，最后根據(jù)三角形面積公式，整體代入可得結(jié)論．

（1）證明：∵正方形ABCD

∴AE//CF，

∵AE=CF

∴AEFC是平行四邊形

∴EF//AC.

（2）①如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，且EF∥AC，

∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°；

∵AD∥BF，

∴∠CFG=∠DEG=45°，

∵∠CGF=∠DGE=45°，

∴∠CGF=∠CFG，

∴CG=CF；

∵AE=CF，

∴AE=CG；

在△ABE與△CBG中，

∵AE=CG，∠BAE=∠BCG，AB=BC

∴△ABE≌CBG（SAS）；

②由①知△DEG是等腰直角三角形，

∵EG=4，

∴DE=，

設(shè)AE=a，則AB=AD=a+，

Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，

∴(a+)2+a2=42，

∴a2+a=4，

∴S△ABE=ABAE=a(a+)= (a2+a)=×4=2．