Question

19．如圖1，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，P為AB的中點(diǎn)，以P為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△PDE，PE與AC交于M，PD與直線BC交于N．

（1）求證：AM²+BN²=MN²
（2）若AM=x，BN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（利用圖2作答）．
（3）若將等腰Rt△PDE繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PE恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，延長EP交AN于F，如圖3，求PF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長MP至E，且使PE=MP，構(gòu)建全等三角形△MPA≌△EPB（SAS）和△MPN≌△DPN（SAS），由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到：MN=EN，所以在Rt△BDN中，利用勾股定理證得結(jié)論；
（2）根據(jù)含30度角的直角三角形ABC的性質(zhì)求得AB、AC的長度；然后在Rt△MCN中利用勾股定理列出關(guān)于關(guān)于x、y的方程，整理后即可得到答案；
（3）根據(jù)題意推知△PCB為等邊三角形，易得PN=2$\sqrt{3}$，過點(diǎn)A作AG⊥EF于G．利用面積法來求PF的長度：S_△FCN=2S_△AFC，S_△FCN=$\frac{2}{3}$S_△ACN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$×CF×2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）延長MP至E，且使PE=MP，
可證：△MPA≌△EPB（SAS），
∴∠MAP=∠DBO，MA=DB．
∵∠MAP+∠ABC=∠DBO+∠ABC=90°，
可證：△MPN≌△DPN（SAS），
∴MN=EN，
在Rt△BDN中，DN²=BN²+BD²，
∴AM²+BN²=MN²；

（2）如圖2，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∴MC=2$\sqrt{3}$-x，NC=2-y，
在Rt△MCN中，MN²=MC²+NC²，
∴x²+y²=（2$\sqrt{3}$-x）²+（2-y）²，化簡得：y=-$\sqrt{3}$x+4；

（3）如圖3，∵PC為Rt△ACB的中線，
∴PC=AP=BP=BC=2，
∴△PCB為等邊三角形，
∴∠BPN=∠BNP=30°，
∴PN=2$\sqrt{3}$，
過點(diǎn)A作AG⊥EF于G．
∴AG=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，S_△FCN=2S_△AFC，
∵S_△ACN=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_△FCN=$\frac{2}{3}$S_△ACN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{2}$×CF×2$\sqrt{3}$，CF=$\frac{2}{3}$，
∴PF=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何變換綜合題．涉及了等邊直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)于此類綜合性較強(qiáng)的題目關(guān)鍵還是需要同學(xué)們有扎實(shí)的基本功注意培養(yǎng)自己的融會(huì)貫通能力．