Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，若∠BAC=∠CAM，過點C作直線l垂直于射線AM，垂足為點D．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD=1，且∠AEC=30°，求BE的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，可證明OC∥AD，可證明CD為⊙O的切線；
（2）連接BC，可證得BC=BE，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，可求得BC，可得出BE的長．

解答：解：（1）CD與⊙O相切，理由如下：
如圖1，連接OC，

∵OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC，
又∵∠BAC=∠CAM，
∴∠OCA=∠CAM，
∴OC∥AM，
∵AM⊥CD，
∴∠ECO=∠CDA=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD與⊙O相切；
（2）如圖2，連接BC，

∵∠AEC=30°，∠CDA=90°，
∴∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC，
在Rt△ACD中，CD=1，∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2，
在Rt△ABC中，AC=2，∠BAC=30°，
∴BC=AC•tan∠BAC=2×

3

3

=

2 3

3

，
∴BE=

2 3

3

．

點評：本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的兩種證明方法是解題的關(guān)鍵，即①有切點時，連接圓心和切點，證明垂直，②當(dāng)沒有切點時，作垂直，證明距離等于半徑．