Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（1，4）B（2，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不共線，求△ABC周長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，根據(jù)平行線分線段成比例定理就可求得OC′即可得出△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理就可求出△ABC的周長(zhǎng)．

解答：解：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，
此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，
∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（2，0），
∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，0），AE=4，
則B′E=3，
∵C′O∥AE，
∴

B′O

B′E

=

OC′

AE

，
即

2

3

=

OC′

4

，
∴C′O=

8

3

，
∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（0，

8

3

），此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小值=AB′+AB=

32+42

+

(2-1)2+(4-0)2

=5+

17

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路線以及平行線的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)已知得出C點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．