【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,BAC=120°,AB=AC=2,點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合),在AC上取一點E,使ADE=30°.

(1)求證:ABD∽△DCE;

(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍;

(3)當(dāng)ADE是等腰三角形時,求AE的長.

【答案】(1)證明見解析(2)y=x+2(0x2(3)當(dāng)ADE是等腰三角形時,AE=4﹣2

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)兩角相等證明:ABD∽△DCE;

(2)如圖1,作高AF,根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求AF的長,根據(jù)勾股定理求BF的長,則可得BC的長,根據(jù)(1)中的相似列比例式可得函數(shù)關(guān)系式,并確定取值;

(3)分三種情況進行討論:當(dāng)AD=DE時;當(dāng)AE=ED時;當(dāng)AD=AE時,討論即可得到答案.

試題解析:(1)∵△ABC是等腰三角形,且BAC=120°,

∴∠ABD=ACB=30°,

∴∠ABD=ADE=30°,

∵∠ADC=ADE+EDC=ABD+DAB,

∴∠EDC=DAB,

∴△ABD∽△DCE;

(2)如圖1,AB=AC=2,BAC=120°,

過A作AFBC于F,

∴∠AFB=90°,

AB=2,ABF=30°,

AF=AB=1,

BF=,

BC=2BF=2,

則DC=2﹣x,EC=2﹣y,

∵△ABD∽△DCE,

,

化簡得:y=x+2(0x2);

(3)當(dāng)AD=DE時,如圖2,

由(1)可知:此時ABD∽△DCE,

則AB=CD,即2=2﹣x,

x=2﹣2,代入y=x+2,

解得:y=4﹣2,即AE=4﹣2,

當(dāng)AE=ED時,如圖3,

EAD=EDA=30°,AED=120°,

∴∠DEC=60°,EDC=90°,

則ED=EC,即y=(2﹣y),

解得:y=,即AE=

當(dāng)AD=AE時,

AED=EDA=30°,EAD=120°,

此時點D與點B重合,不符合題意,此情況不存在,

當(dāng)ADE是等腰三角形時,AE=4﹣2

練習(xí)冊系列答案
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①當(dāng)點運動到點處時,計算:________,________,由此發(fā)現(xiàn),________(填“”、“”或“”);

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(3)在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點P(除點B外),使得APC與ABC全等?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由

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社區(qū)

甲型垃圾桶

乙型垃圾桶

總價

A

10

8

3320

B

5

9

2860

C

a

b

2820

1)運用本學(xué)期所學(xué)知識,列二元一次方程組求甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的單價每套分別是多少元?

2)按要求各個社區(qū)兩種類型的垃圾桶都要有,則a   

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