Question

在等腰直角三角形ABC中放入兩個(gè)正方形DEFG和EHPQ，使得DE，EH在斜邊BC上，點(diǎn)G，P分別在邊AB和AC上，點(diǎn)E，Q始終在△ABC的內(nèi)部或邊上．已知BC長(zhǎng)為12，點(diǎn)D是BC上的動(dòng)點(diǎn)，則這兩個(gè)正方形面積的最大值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，正方形EHPQ的邊長(zhǎng)為y，由△ABC是等腰直角三角形，得出x+y=6，兩個(gè)正方形面積=x²+y²=2（x-3）²+18，利用x的取值范圍求出這兩個(gè)正方形面積的最大值．

解答：解：設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，正方形EHPQ的邊長(zhǎng)為y，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BD=DG=x，HC=HP=y，
∴x+x+y+y=12，即x+y=6，
∴兩個(gè)正方形面積=x²+y²=x²+（6-x）²=2x²-12x+36=2（x-3）²+18
如圖，

x最大值為4，則最小值為2，
∴2≤x≤4，
∴當(dāng)x=2或4時(shí)，兩個(gè)正方形面積最大=2（x-3）²+18=20，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是找出x的取值范圍．