【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是邊長為2的正方形,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、E兩點,且點E的坐標為(﹣0),以0C為直徑作半圓,圓心為D

1)求二次函數(shù)的解析式;

2)求證:直線BE是⊙D的切線;

3)若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P,M是線段CB上的一個動點(點M與點B,C不重合),過點MMNBEx軸與點N,連結(jié)PM,PN,設(shè)CM的長為t,PMN的面積為S,求St的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.S是否存在著最大值?若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2)見解析;(3,S存在最大值,當t1時,S最大.

【解析】

1)利用待定系數(shù)法,根據(jù)題意易得點A、B的坐標,然后把點A、B、E的坐標分別代入二次函數(shù)解析式,列出關(guān)于a、b、c的方程組,利用三元一次方程組來求得系數(shù)的值;

2)過點DDGBE于點G,構(gòu)建相似三角形EGD∽△ECB,根據(jù)它的對應(yīng)邊成比例得DG的值,利用待定系數(shù)法求得直線BE的解析式,由此求得DG1(圓的半徑是1),則易證得結(jié)論;

3)由(2)中可求得點P的坐標,由相似三角形MNC∽△BEC的對應(yīng)邊成比例,線段間的和差關(guān)系得到CN、DN的值,由題可得SSPNDS梯形PDCMSMNC,再結(jié)合拋物線的性質(zhì)可求得S的最值.

解:(1)由題意,得A0,2),點B2,2),E的坐標為(0

,解得

故二次函數(shù)的解析式為:;

2)如圖1,過點DDGBE于點G,

由題意,得

ED,EC,BC2

BE

∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB90°

∴△EGD∽△ECB

,

DG1

∵圓D的半徑為1,且DGBE

BE是圓D的切線

3)如圖2,過點MMNBEx軸與點N,連結(jié)PM,PN,

依題意,得,點B2,2),E的坐標為(,0),

故設(shè)直線BEykx+hk≠0

則有,解得,

∴直線BE為:

∵直線BE與拋物線的對稱軸交點為P,對稱軸為x1

∴點P的縱坐標為y,即P1,

MNBE

∴∠MNC=∠BEC

∵∠MCN=∠BCE90°

∴△MNC∽△BEC

,即,

,

SPND

SMNC

S梯形PDCM

SSPND+S梯形PDCMSMNC0t2

∵拋物線S0t2)的開口方向向下

S存在最大值,當t1時,S最大.

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項目

籃球

足球

排球

乒乓球

羽毛球

報名人數(shù)

12

8

4

a

10

占總?cè)藬?shù)的百分比

24%

b

1)該班學生的總?cè)藬?shù)為   人;

2)由表中的數(shù)據(jù)可知:a   ,b   ;

3)報名參加排球訓練的四個人為兩男(分別記為A、B)兩女(分別記為CD),現(xiàn)要隨機在這4人中選2人參加學校組織的校級訓練,請用列表或樹狀圖的方法求出剛好選中一男一女的概率.

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