Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BA＝AD＝DC，點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，BE＝AD，連接AC、AE．

⑴ 求證：AE＝AC；

⑵ 若AB⊥AC， F是BC的中點(diǎn)，試判斷四邊形AFCD的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形AFCD是菱形，理由見解析

【解析】

（1）首先連接BD，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得AC=BD，易得四邊形AEBD是平行四邊形，由平行四邊形的對(duì)邊相等，即可得AE=BD，繼而證得結(jié)論；
（2）由AB⊥AC，F是BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，易求得∠ACB=30°，繼而可證得AF=FC=CD=AD，則可判定四邊形AFCD是菱形．

（1）連接BD

∵梯形ABCD是等腰梯形

∴AC＝BD

∵BE＝AD， AD∥BC

∴四邊形AEBD是平行四邊形

∴AE＝BD，

∴AE＝AC

（2）四邊形AFCD是菱形， 理由是：

∵AB⊥AC， F是BC的中點(diǎn)

∴AF＝CF，

∴∠FAC＝∠FCA

∵AD＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠FCA

∴∠DCA＝∠FAC

∴AF∥DC

∵AD∥BC，AF∥DC

∴四邊形AFCD是平行四邊形

又AD＝DC

∴四邊形AFCD是菱形