Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠DAB，CF平分∠BCD．
（1）請你猜想AE與CF有何種位置關系，并說明理由；
（2）若將條件“∠B=，∠D=90°”換成“∠B=∠D”，其他條件不變，AE與CF的這種關系是否還成立？

Answer 1

考點：平行線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠BAD+∠BCD=180°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠1+∠2=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠2+∠3=90°從而得到∠1=∠3，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明即可；
（2）類比于（1）的方法得出答案即可．

解答：解：（1）AE∥CF

理由如下：∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-90°×2=180°，
∵AE、CF分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCD，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠BAD+∠BCD）=

1

2

×180°=90°，
∵∠B=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴AE∥CF．
（2）仍然成立．
∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-∠B×2，
∵AE、CF分別平分∠BAD和∠BCD，
∴∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCD，
∴∠1+∠2=

1

2

（∠BAD+∠BCD）=180°-∠B，
∵∠2+∠3=180°-∠B，
∴∠1=∠3，
∴AE∥CF．

點評：本題考查了平行線的判定，四邊形的內(nèi)角和等于360°，角平分線的定義，以及三角形內(nèi)角和定理，求出∠1=∠3是解題的關鍵．