Question

17．A，B兩城相距600千米，甲、乙兩車同時從A城出發(fā)駛向B城，甲車到達B城后立即返回．如圖是它們離A城的距離y（千米）與行駛時間 x（小時）之間的函數(shù)圖象．
（1）求甲車行駛過程中y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當它們行駛了7小時時，兩車相遇，求乙車的速度及乙車行駛過程中y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當兩車相距100千米時，求甲車行駛的時間．

Answer 1

分析 （1）設(shè)甲車行駛過程中y與x之間的函數(shù)解析式為y_甲=k₁x+b₁，分兩段代入點的坐標利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）求出當x=7時，y_甲的值，再依據(jù)“速度=路程÷時間”算出乙車的速度，再由“乙車運動的時間=A、B兩城間距離÷乙車的速度”得出x的取值范圍，依據(jù)數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)兩車之間的距離為W（千米），根據(jù)W=|y_甲-y_乙|得出W關(guān)于時間x的函數(shù)關(guān)系式，令W=100，求出x值即可．

解答 解：（1）設(shè)甲車行駛過程中y與x之間的函數(shù)解析式為y_甲=k₁x+b₁，
當0≤x≤6時，將點（0，0），（6，600）代入函數(shù)解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=_{1}}\\{600=6{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=100}\\{_{1}=0}\end{array}\right.$，
∴y_甲=100x；
當6≤x≤14，將點（6，600），（14，0）代入函數(shù)解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{600=6{k}_{1}+_{1}}\\{0=14{k}_{1}+_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-75}\\{_{1}=1050}\end{array}\right.$，
∴y_甲=-75x+1050．
綜上得：y_甲=$\left\{\begin{array}{l}{100x（0≤x≤6）}\\{-75x+1050（6≤x≤14）}\end{array}\right.$．
（2）當x=7時，y_甲=-75×7+1050=525，
乙車的速度為：525÷7=75（千米/小時）．
∵乙車到達B城的時間為：600÷75=8（小時），
∴乙車行駛過程中y_乙與x之間的函數(shù)解析式為：y_乙=75x（0≤x≤8）．
（3）設(shè)兩車之間的距離為W（千米），則W與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：
W=|y_甲-y_乙|=$\left\{\begin{array}{l}{100x-75x=25x（0≤x≤6）}\\{-75x+1050-75x=-150x+1050（6≤x≤7）}\\{75x-（-75x+1050）=150x-1050（7≤x≤8）}\\{600-（-75x+1050）=75x-450（8≤x≤14）}\end{array}\right.$，
當W=100時，有$\left\{\begin{array}{l}{25x=100（0≤x≤6）}\\{-150x+1050=100（6≤x≤7）}\\{150x-1050=100（7≤x≤8）}\\{75x-450=100（8≤x≤14）}\end{array}\right.$，
解得：x₁=4，x₂=6$\frac{1}{3}$，x₃=7$\frac{2}{3}$．
答：當兩車相距100千米時，甲車行駛的時間為4、6$\frac{1}{3}$或7$\frac{2}{3}$小時．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）結(jié)合數(shù)量關(guān)系找出y_乙與x之間的函數(shù)解析式；（3）找出關(guān)于時間t的一元一次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，結(jié)合函數(shù)圖象中點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．