【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.
(1)如圖1,四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).
求證:中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形;

(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;

(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀.(不必證明)

【答案】
(1)

證明:如圖1中,連接BD.

∵點(diǎn)E,H分別為邊AB,DA的中點(diǎn),

∴EH∥BD,EH= BD,

∵點(diǎn)F,G分別為邊BC,CD的中點(diǎn),

∴FG∥BD,F(xiàn)G= BD,

∴EH∥FG,EH=GF,

∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.


(2)

四邊形EFGH是菱形.

證明:如圖2中,連接AC,BD.

∵∠APB=∠CPD,

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD

即∠APC=∠BPD,

在△APC和△BPD中,

,

∴△APC≌△BPD,

∴AC=BD

∵點(diǎn)E,F(xiàn),G分別為邊AB,BC,CD的中點(diǎn),

∴EF= AC,F(xiàn)G= BD,

∵四邊形EFGH是平行四邊形,

∴四邊形EFGH是菱形.


(3)

四邊形EFGH是正方形.

證明:如圖2中,

設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O.AC與PD交于點(diǎn)M,AC與EH交于點(diǎn)N.

∵△APC≌△BPD,

∴∠ACP=∠BDP,

∵∠DMO=∠CMP,

∴∠COD=∠CPD=90°,

∵EH∥BD,AC∥HG,

∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,

∵四邊形EFGH是菱形,

∴四邊形EFGH是正方形.


【解析】(1)如圖1中,連接BD,根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG,EH=FG即可.(2)四邊形EFGH是菱形.先證明△APC≌△BPD,得到AC=BD,再證明EF=FG即可.(3)四邊形EFGH是正方形,只要證明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得∠ACP=∠BDP,即可證明∠COD=∠CPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.

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