Question

【題目】如圖，和是兩個(gè)全等的三角形，，.現(xiàn)將和按如圖所示的方式疊放在一起，保持不動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，且滿足：點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B，C重合)，且邊DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于點(diǎn)M .

（1）求證：∠BAE=∠MEC；

（2）當(dāng)E在BC中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出ME：MF的值；

（3）在的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否構(gòu)成等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的BE的長(zhǎng)；若不能，則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）已知△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠DEF，又因∠AEC=∠B+∠BAE，∠AEC=∠AEM+∠MEC，即可得∠B+∠BAE=∠AEM+∠MEC，所以∠BAE=∠MEC；（2）當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí), AB=AC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE⊥BC，∠EAM=60°，再由∠DEM=30°即可證得AC⊥EF； 在Rt△ABE中，∠B=30°，，求得BE=，即可求得BC=3；在Rt△CEM中，∠C=30°，EC=E，求得EM=，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=EF=3，所以FM= EF－EM=，即可得EM：FM=1：3 ；（3）分AM=AE、EA=EM、三種情況求解即可.

（1）證明：∵△ABC≌△DEF

∴∠ABC=∠DEF

∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠AEC=∠AEM+∠MEC；

∴∠B+∠BAE=∠AEM+∠MEC，

即∠BAE=∠MEC ；

（2）當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí),

∵AB=AC，

∴AE⊥BC，BE=EC= ，∠EAM=60°，

又∵∠DEM=30°，

∴AC⊥EF；

∵，，

∴∠B=∠C=30°，

在Rt△ABE中，∠B=30°，，

∴BE=，

∴BC=3；

在Rt△CEM中，∠C=30°，EC=，

∴EM=，

∵△ABC≌△DEF，

∴BC=EF=3，

∴FM= EF－EM=，

∴EM：FM=1：3；

（3）當(dāng)或2時(shí)，是等腰三角形.

①當(dāng)時(shí)，如圖，

，

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，與題意矛盾(舍去 ) ；

②當(dāng)時(shí)，如圖，

由（1）知，

，

，，

，

，

,

③當(dāng)時(shí)，如圖，

則，

，

取BE中點(diǎn)I，連結(jié)AI，

則，，

是等邊三角形，

設(shè)，在中，

由勾股定理，得，

即，解得

.

綜上所述，當(dāng)或2時(shí)，是等腰三角形.