如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),CE⊥AB于E,設(shè)∠ABC=α(60°≤α<90°).

(1)當(dāng)α=60°時(shí),求CE的長;
(2)當(dāng)60°<α<90°時(shí),
①是否存在正整數(shù)k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
②連接CF,當(dāng)CE2-CF2取最大值時(shí),求tan∠DCF的值.
(1)5  (2)①存在k=3  ②

分析:(1)利用60°角的正弦值列式計(jì)算即可得解;
(2)①連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G,利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF,再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF,然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G,然后推出∠EFD=3∠AEF,從而得解;
②設(shè)BE=x,在Rt△BCE中,利用勾股定理表示出CE2,表示出EG的長度,在Rt△CEG中,利用勾股定理表示出CG2,從而得到CF2,然后相減并整理,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答.

解:(1)∵α=60°,BC=10,∴sinα=,
即sin60°=,解得CE=5;
(2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF.
理由如下:連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G,如圖所示,∵F為AD的中點(diǎn),
∴AF=FD,
在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,
∴∠G=∠DCF,在△AFG和△DFC中,
,
∴△AFG≌△DFC(AAS),∴CF=GF,AG=DC,
∵CE⊥AB,
∴EF=GF(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半),∴∠AEF=∠G,
∵AB=5,BC=10,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),
∴AG=5,AF=AD=BC=5,
∴AG=AF,∴∠AFG=∠G,
在△EFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF,
又∵∠CFD=∠AFG(對頂角相等),
∴∠CFD=∠AEF,
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,
因此,存在正整數(shù)k=3,使得∠EFD=3∠AEF;
②設(shè)BE=x,∵AG=CD=AB=5,
∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x,
在Rt△BCE中,CE2=BC2-BE2=100-x2,
在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100-x2=200-20x,
∵CF=GF(①中已證),
∴CF2CG2(200-20x)=50-5x,
∴CE2-CF2=100-x2-50+5x
=-x2+5x+50=-+50+,
∴當(dāng)x=,即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí),
CE2-CF2取最大值,
此時(shí),EG=10-x=10-,
CE=
所以,tan∠DCF=tan∠G=.
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