【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(0,5),且過點(﹣3,),先求拋物線的解析式,再解決下列問題:
(應(yīng)用)問題1,如圖2,線段AB=d(定值),將其彎折成互相垂直的兩段AC、CB后,設(shè)A、B兩點的距離為x,由A、B、C三點組成圖形面積為S,且S與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示(拋物線y=ax2+bx+c上MN之間的部分,M在x軸上):
(1)填空:線段AB的長度d= ;彎折后A、B兩點的距離x的取值范圍是 ;若S=3,則是否存在點C,將AB分成兩段(填“能”或“不能”) ;若面積S=1.5時,點C將線段AB分成兩段的長分別是 ;
(2)填空:在如圖1中,以原點O為圓心,A、B兩點的距離x為半徑的⊙O;畫出點C分AB所得兩段AC與CB的函數(shù)圖象(線段);設(shè)圓心O到該函數(shù)圖象的距離為h,則h= ,該函數(shù)圖象與⊙O的位置關(guān)系是 .
(提升)問題2,一個直角三角形斜邊長為c(定值),設(shè)其面積為S,周長為x,證明S是x的二次函數(shù),求該函數(shù)關(guān)系式,并求x的取值范圍和相應(yīng)S的取值范圍.
【答案】拋物線的解析式為:y=﹣x2+5;(1)20<x<2,不能,+和﹣;(2),相離或相切或相交;(3)相應(yīng)S的取值范圍為S>c2.
【解析】
將頂點(0,5)及點(﹣3,)代入拋物線的頂點式即可求出其解析式;
(1)由拋物線的解析式先求出點M的坐標,由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可判斷d的值,可由d的值判斷出x的取值范圍,分別將S=3和1.5代入拋物線解析式,即可求出點C將線段AB分成兩段的長;
(2)設(shè)AC=y,CB=x,可直接寫出點C分AB所得兩段AC與CB的函數(shù)解析式,并畫出圖象,證△OPM為等腰直角三角形,過點O作OH⊥PM于點H,則OH=PM=,分情況可討論出AC與CB的函數(shù)圖象(線段PM)與⊙O的位置關(guān)系;
(3)設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,由勾股定理及完全平公式可以證明S是x的二次函數(shù),并可寫出x的取值范圍及相應(yīng)S的取值范圍.
解:∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點(0,5),
∴y=ax2+5,
將點(﹣3,)代入,
得=a×(﹣3)2+5,
∴a= ,
∴拋物線的解析式為:y= ;
(1)∵S與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示(拋物線y=ax2+bx+c上MN之間的部分,M在x軸上),
在y=,當y=0時,x1=2,x2=﹣2,
∴M(2,0),
即當x=2時,S=0,
∴d的值為2;
∴彎折后A、B兩點的距離x的取值范圍是0<x<2;
當S=3 時,設(shè)AC=a,則BC=2﹣a,
∴a(2﹣a)=3,
整理,得a2﹣2a+6=0,
∵△=b2﹣4ac=﹣4<0,
∴方程無實數(shù)根;
當S=1.5時,設(shè)AC=a,則BC=2﹣a,
∴a(2﹣a)=1.5,
整理,得a2﹣2a+3=0,
解得,
∴當a=時,2﹣a=,
當a=時,2﹣a=,
∴若面積S=1.5時,點C將線段AB分成兩段的長分別是和;
故答案為:2,0<x<2,不能,和;
(2)設(shè)AC=y,CB=x,
則y=﹣x+2,如圖1所示的線段PM,
則P(0,2),M(2,0),
∴△OPM為等腰直角三角形,
∴PM=OP=2,
過點O作OH⊥PM于點H,
則OH=PM=,
∴當0<x<時,AC與CB的函數(shù)圖象(線段PM)與⊙O相離;
當x=時,AC與CB的函數(shù)圖象(線段PM)與⊙O相切;
當<x<2時,AC與CB的函數(shù)圖象(線段PM)與⊙O相交;
故答案為:,相離或相切或相交;
(3)設(shè)直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,
則 ,
∵(a+b)2=a2+b2+2ab,
∴(x﹣c)2=c2+2ab,
∴,
即S=,
∴x的取值范圍為:x>c,
則相應(yīng)S的取值范圍為S>.
科目:
來源: 題型:【題目】如圖,在銳角△ABC中,BC=10,AC=11,△ABC的面積為33,點P是射線CA上一動點,以BP為直徑作圓交線段AC于點E,交射線BA于點D,交射線CB于點F.
(1)當點P在線段AC上時,若點E為中點,求BP的長.
(2)連結(jié)EF,若△CEF為等腰三角形,求所有滿足條件的BP值.
(3)將DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°,當點E的對應(yīng)點E'恰好落在BC上時,記△DBE'的面積為S1,△DPE的面積S2,則的值為 .(直接寫出答案即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在扇形OMN中,∠MON=90°,OM=6,△ABC是扇形的內(nèi)接三角形,其中A、C、B分別在半徑OM、ON和弧MN上,∠ACB=90°,BC:AC=3:8,則線段BC的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△DEF都是直角三角形,∠ACB=∠DFE=90°,AB=DE,頂點F在BC上,邊DF經(jīng)過點C,點A,E在BC同側(cè),DE⊥AB.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若AC=11,EF=6,CF=4,求BD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,E為CD邊上一點,且AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC.
(1)求證:△ADE≌△BCE;
(2)已知AD=3,求矩形的另一邊AB的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,點P從點A出發(fā)沿AB以3cm/s的速度向點B移動(不與點A,B重合);同時點Q從點C出發(fā)沿CD以2cm/s的速度向點D移動(不與點C、D重合),經(jīng)過幾秒,△PDQ為直角三角形?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),在同一條公路上,勻速行駛,相向而行,到兩車相遇時停止.甲車行駛一段時間后,因故停車0.5小時,故障解除后,繼續(xù)以原速向B地行駛,兩車之間的路程y(千米)與出發(fā)后所用時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求甲、乙兩車行駛的速度V甲、V乙.
(2)求m的值.
(3)若甲車沒有故障停車,求可以提前多長時間兩車相遇.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=12,D是AC邊上一點,且AB2=ADAC,連接BD,點E、F分別是BC、AC上兩點(點E不與B、C重合),∠AEF=∠C,AE與BD相交于點G.
(1)求BD的長;
(2)求證△BGE∽△CEF;
(3)連接FG,當△GEF是等腰三角形時,直接寫出BE的所有可能的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k與直線y=kx+1交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè).
(1)如圖1,當k=1時,直接寫出A,B兩點的坐標;
(2)在(1)的條件下,點P為拋物線上的一個動點,且在直線AB下方,試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)如圖2,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)與x軸交于點C、D兩點(點C在點D的左側(cè)),在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°?若存在,請求出此時k的值;若不存在,請說明理由.
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