Question

18．如圖，矩形AEFG的頂點(diǎn)E，G分別在正方形ABCD的AB，AD邊上，連接B，交EF于點(diǎn)M，交FG于點(diǎn)N，設(shè)AE=a，AG=b，AB=c（b＜a＜c）．
（1）求證：$\frac{BN}{DM}$=$\frac{a}$；
（2）求△AMN的面積（用a，b，c的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)∠MAN=45°時(shí)，求證：c²=2ab．

Answer 1

分析 （1）首先過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作MI⊥AD于點(diǎn)I，可得△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四邊形AGNH和四邊形AEMI是矩形，則可求得BN=$\sqrt{2}$b，DM=$\sqrt{2}$a，繼而求得答案；
（2）由S_△AMN=S_△ABD-S_△ABM-S_△ADN，可得S_△AMN=$\frac{1}{2}$c²-$\frac{1}{2}$c（c-a）-$\frac{1}{2}$c（c-b），繼而求得答案；
（3）易證得∴∠DMA=∠BAN，又由∠ABD=∠ADB=45°，可證得△ADM∽△NBA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 （1）證明：過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作MI⊥AD于點(diǎn)I，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴△NHB和△DIM是等腰直角三角形，四邊形AGNH和四邊形AEMI是矩形，
∴BN=$\sqrt{2}$NH=$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{2}$b，DM=$\sqrt{2}$MI=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$a，
∴：$\frac{BN}{DM}$=$\frac{a}$；

（2）S_△AMN=S_△ABD-S_△ABM-S_△ADN
=$\frac{1}{2}$AB•AD-$\frac{1}{2}$AB•ME-$\frac{1}{2}$AD•NG
=$\frac{1}{2}$c²-$\frac{1}{2}$c（c-a）-$\frac{1}{2}$c（c-b）
=$\frac{1}{2}$c（c-c+a-c+b）
=$\frac{1}{2}$c（a+b-c）；

（3）∵∠DMA=∠ABD+∠MAB=∠MAB+45°，∠BAN=∠MAB+∠MAN=∠MAB+45°，
∴∠DMA=∠BAN，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴△ADM∽△NBA，
∴$\frac{DM}{AD}$=$\frac{AB}{BN}$，
∵DM=$\sqrt{2}$a，BN=$\sqrt{2}$b，
∴c²=2ab．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．