Question

12．如圖，拋物線y=x²-3x+$\frac{5}{4}$與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E
（1）求直線BC的解析式；
（2）當(dāng)線段DE的長度最大時，求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)軸上點的特點求出A、B、C點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；
（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則縱坐標(biāo)為（m，${m}^{2}-3m+\frac{5}{4}$），E點的坐標(biāo)為（m，$-\frac{1}{2}m+\frac{5}{4}$），可得兩點間的距離為d=${-m}^{2}+\frac{5}{2}m$，利用二次函數(shù)的最值可得m，可得點D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-3x+$\frac{5}{4}$與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，
∴令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{5}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{5}{2}$，0）；
令x=0，則y=$\frac{5}{4}$，
∴C點坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{4}$），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}k+b=0}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=$-\frac{1}{2}$x$+\frac{5}{4}$；

（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，則坐標(biāo)為（m，${m}^{2}-3m+\frac{5}{4}$），
∴E點的坐標(biāo)為（m，$-\frac{1}{2}$m$+\frac{5}{4}$），
設(shè)DE的長度為d，
∵點D是直線BC下方拋物線上一點，
則d=$-\frac{1}{2}$m+$\frac{5}{4}$-（m²-3m+$\frac{5}{4}$），
整理得，d=-m²+$\frac{5}{2}$m，
∵a=1＞0，
∴當(dāng)m=-$\frac{\frac{5}{2}}{-2×1}$=$\frac{5}{4}$時，d_最大=$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=$\frac{0-\frac{25}{4}}{-4}$=$\frac{25}{16}$，
∴D點的坐標(biāo)為（$\frac{5}{4}$，-$\frac{15}{16}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象與坐標(biāo)軸的交點，設(shè)出D的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)最值得D點坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．