Question

13．點(diǎn)E在正方形ABCD的邊BC上，點(diǎn)F在AE上，連接FB，F(xiàn)D，∠ABF=∠AFB．
（1）如圖1，求證：∠AFD=∠ADF；
（2）如圖2，過點(diǎn)F作垂線交AB于G，交DC的延長(zhǎng)線于H，求證：DH=2AG；
（3）在（2）的條件下，若EF=2，CH=3，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)得出AF=AD，則∠AFD=∠ADF；
（2）首先得出四邊形AGHN為平行四邊形，得出FM=MD，進(jìn)而NF=NH，ND=NH，即可得出答案；
（3）首先得出△ADN≌△DCP（ASA），進(jìn)而PC=DN，再利用在Rt△ABE中，BE²+AB²=AE²，求出答案．

解答 （1）證明：∵∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF；

（2）證明：如圖1所示：過點(diǎn)A作DF的垂線分別交DF，DH于M，N兩點(diǎn)
∵GF⊥DF，
∴∠GFD=∠AMD=90°，
∴AN∥GH，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AG∥NH，
∴四邊形AGHN為平行四邊形，
∴AG=NH，
∵AF=AD，AM⊥FD，
∴FM=MD，
連接NF，則NF=ND，
∴∠NFD=∠NDF，
∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H，
∴∠NFH=∠H，
∴NF=NH，
∴ND=NH，
∴DH=2NH=2AG；

（3）解：延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)P，如圖2所示：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠FPE，
∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE，
∴EF=EP=2，
∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC，
∴∠DAM=∠PDC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC，∠ADN=∠DCP，
在△ADN和△DCP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠PDC}\\{AD=DC}\\{∠ADN=∠PCD}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△DCP（ASA），
∴PC=DN，
設(shè)EC=x，則PC=DN=x+2，DH=2x+4，
∵CH=3，
∴DC=AB=BC=AF=2x+1
∴AE=2x+3，BE=x+1，
在Rt△ABE中，BE²+AB²=AE²，
∴（x+1）²+（2x+1）²=（2x+3）²．
整理得：x²-6x-7=0，
解得：x₁=7，x₂=-1（不合題意，舍去）
∴EC=7．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，正確把握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．