Question

19．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交直線DC于點F．
（1）如圖1，當(dāng)點G在BC邊上時，顯然$\frac{DC}{DF}$=1，此時$\frac{AD}{AB}$=2．
（2）如圖2，當(dāng)點G在矩形ABCD內(nèi)部時，①若$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{2}$時，求$\frac{DC}{DF}$的值；②若$\frac{DC}{DF}$=k時，求$\frac{AD}{AB}$的值．
（3）當(dāng)點G在矩形ABCD外部且$\frac{DC}{DF}$=k，則$\frac{AD}{AB}$的值為$\frac{2\sqrt{k}}{k}$ （請直接寫出結(jié)論即可）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)計算即可；
（2）①連接EF，證明Rt△EGF≌Rt△EDF，得到FG=DF，AB=DC=a，DF=b，根據(jù)勾股定理列出算式，計算即可；
②設(shè)DF=x，BC=y，根據(jù)勾股定理，列式計算；
（3）與（2）的解答方法相同，即可得到答案．

解答 解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，∠ABE=∠GBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠GBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵E是AD的中點，
∴AD=2AE，
∴$\frac{AD}{AB}$=2，
故答案為：2；
（2）①連接EF，
在矩形ABCD中，∵E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴AE=DE，AE=EG，EF=EF，∠A=∠BGE=∠D=90°，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴FG=DF，
設(shè)AB=DC=a，DF=b，
∵$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=AD=$\sqrt{2}$a，CF=DC-DF=a-b．
∵BG=AB=a，
∴BF=BG+GF=a+b．
在Rt△BCF中，
∵BC²+CF²=BF²，
∴（$\sqrt{2}$a）²+（a-b）²=（a+b）²，
∴a=2b，
∴$\frac{DC}{DF}$=$\frac{a}$=2，
②解：∵FG=DF．設(shè)DF=x，BC=y，
∴GF=x，AD=BC=y．
∵$\frac{DC}{DF}$=k，
∴DC=k•DF，
∴DC=AB=BG=kx．
∵CF=DC-DF=kx-x，
∴CF=（k-1）x，BF=BG+GF=（k+1）x．
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
∴y²+[（k-1）x]²=[（k+1）x]²．
∴y=2x$\sqrt{k}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{y}{kx}$=$\frac{2\sqrt{k}}{k}$；
（3）由（2）②的結(jié)論可知，
$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{k}}{k}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{k}}{k}$．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理的應(yīng)用以及折疊的性質(zhì)，掌握翻折變換是軸對稱變換，變換前后圖形互相重合是解題的關(guān)鍵．