Question

15．如圖，拋物線y=a（x-1）²-n與直線y=2x+b相交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（m，12）．
（1）試確定該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若拋物線y=a（x-1）²-n的頂點(diǎn)為C，求△ABC的面積；
（3）若點(diǎn)P是拋物線y=a（x-1）²-n上點(diǎn)C-點(diǎn)B部分（不含點(diǎn)B和點(diǎn)C）的一動點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABPC的面積達(dá)到最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)代入直線解析式可求得b的值，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）可先求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式，設(shè)直線BC與x軸交于點(diǎn)D，可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得△ABC的面積；
（3）當(dāng)直線BC向右平移與拋物線有唯一的公共點(diǎn)時，四邊形ABPC的面積最大，可設(shè)平移后的直線解析式為y=4x+h，聯(lián)立拋物線與該方程整理得到一元二次方程，方程有唯一解可求得方程的解，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)A（-1，0）在直線y=2x+b上，
∴0=-2+b，解得b=2，
∴一次函數(shù)解析式為y=2x+2，
∵點(diǎn)B（m，12）在直線y=2x+2上，
∴2m+2=12，解得m=5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12），
∵拋物線y=a（x-1）²-n過A、B兩點(diǎn)，
∴把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=（-1-1）^{2}a-n}\\{12=（5-1）^{2}a-n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線表達(dá)式為：y=（x-1）²-4；
（2）如圖1，設(shè)直線BC與x軸交于點(diǎn)D，

由（1）可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），設(shè)直線BC為y=kx+c，
根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}{-4=k+c}\\{12=5k+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=4x-8，令y=0，可解得x=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則AD=3，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×3×12=24；
（3）當(dāng)直線BC向右平移與拋物線有唯一的公共點(diǎn)時，四邊形ABPC的面積最大，
∵直線BC解析式為y=4x-8，
∴可設(shè)平移后的直線解析式為y=4x+h，
根據(jù)題意可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-1）^{2}-4}\\{y=4x+h}\end{array}\right.$有唯一的解，
∴方程x²-6x-3-h=0有唯一的解，
∴（-6）²-4×1×（-3-h）=0，解得h=-12，
此時方程x²-6x+9=0的唯一解為x=3，
當(dāng)x=3時，代入拋物線可知y=0，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）時，四邊形ABPC的面積最大．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、三角形的面積、一元二次方程及判別式等．在（1）中注意點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，在（2）中求得D點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意圖形的分割，在（3）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合較強(qiáng)，特別是第（3）問中P點(diǎn)位置的確定難度很大．