Question

8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，連接CD．
（1）如圖1，如果∠A=30°，那么DE與CE之間的數(shù)量關(guān)系是 DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．
（2）如圖2，在（1）的條件下，P是線段CB上一點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，如果∠A=45°，P是射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，∠A=30°，所以∠CDE=30°，所以DE=$\sqrt{3}$EC；
（2）根據(jù)條件證明△DCP≌△DBF進(jìn)而可證BF+BP=BC，在Rt△CDE中，利用特殊角的三角函數(shù)值可得BC=2CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE，所以BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE；
（3）分兩種情況討論：點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，BF+BP=2DE，點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線時(shí)，BF-BP=2DE．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°．
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DB=DC，
∴△DCB為等邊三角形．
∵DE⊥BC，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
故答案為DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC．
（2）BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．
理由如下：
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF．
∵∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB．
∴∠CDP=∠BDF．
在△DCP和△DBF中，∵DC=DB，∠CDP=∠BDF，DP=DF，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF．
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC．
∵由（1）DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．
∴BF+BP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DE．
（3）①點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線時(shí)，如圖，

與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF．
∵CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC=2DE．　
②點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，如圖，

與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF．
∵CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC=2DE．
∴DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系為BF-BP=2DE，或BF+BP=2DE．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察圖形，準(zhǔn)確找出圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系，正確運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答．