Question

已知：如圖所示，四邊形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一點，O是BD的中點，連接MO并延長MO到N，使NO=MO，連接BN與ND．
（1）判斷四邊形BNDM的形狀，并證明；
（2）若M是AC的中點，則四邊形BNDM形狀又如何？說明理由；
（3）在（2）的條件下，若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求四邊形BNDM的各內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的判定（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）即可解決問題．
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證到MB=MD，然后根據(jù)菱形的判定（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）即可解決問題．
（3）由MB=MA=MC=MD可求出∠BMC、∠DMC，從而可求出∠BMD，進而可求出菱形的其它內(nèi)角．

解答：解：（1）四邊形BNDM是平行四邊形．
證明：如圖1，
∵NO=MO，OB=OD，
∴四邊形BNDM是平行四邊形．

（2）四邊形BNDM是菱形
證明：如圖2，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點，
∴MB=MA=MC=MD．
∵四邊形BNDM是平行四邊形（已證），
∴平行四邊形BNDM是菱形．

（3）如圖2，
∵∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°．
∵MB=MA=MC=MD，
∴∠MBA=∠MAB=30°，∠MDA=∠MAD=45°．
∴∠BMC=∠MBA+∠MAB=60°，∠DMC=∠MDA+∠MAD=90°．
∴∠BMD=∠BMC+∠DMC=60°+90°=150°．
∵四邊形BNDM是菱形，
∴∠BND=∠BMD=150°，BN∥DM．
∴∠NBM+∠BMD=180°，∠BND+∠MDN=180°．
∴∠NBM=30°，∠MDN=30°．

點評：本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，有一定的綜合性．