Question

【題目】設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an＞0，且4Sn=an（an+2）． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)bn= ，Tn=b1+b2+…+bn ， 求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解∵4Sn=an（an+2），① 當(dāng)n=1時得 ，即a1=2，
當(dāng)n≥2時有4Sn﹣1=an﹣1（an﹣1+2）②
由①﹣②得 ，即2（an+an﹣1）=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），
又∵an＞0，
∴an﹣an﹣1=2，
∴an=2+2（n﹣1）=2n．
（Ⅱ）證明：∵ = = ，
∴Tn=b1+b2+…+bn= =
【解析】（I）利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出．（II）利用裂項求和、數(shù)列的單調(diào)性即可證明．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．