Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，若P和Q兩點關于原點對稱，則稱點P與點Q是一個“和諧點對”，表示為[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一個“和諧點對”．

（1）寫出反比例函數(shù)y＝圖象上的一個“和諧點對”；

（2）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+n，

①若此函數(shù)圖象上存在一個和諧點對[A，B]，其中點A的坐標為（2，4），求m，n的值；

②在①的條件下，在y軸上取一點M（0，b），當∠AMB為銳角時，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；（2）①m=2,n=-4；②b的取值范圍為或．

【解析】

（1）由題目中所給和諧點對的定義可知P、Q即為關于原點對稱的兩個點，在反比例函數(shù)圖象上找出兩點即可；

（2）①由A、B為和諧點對可求得點B的坐標，則可得到關于m、n的方程組，可求得其值；②當M在x軸上方時，可先求得∠AMB為直角時對應的M點的坐標，當點M向上運動時滿足∠AMB為銳角；當點M在x軸下方時，同理可求得b的取值范圍．

解：（1）∵y＝，

∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；

（2）①∵A（2，4）且A和B為和諧點對，

∴B點坐標為（﹣2，﹣4），

將A和B兩點坐標代入y＝x2+mx+n，可得，

∴；

②如圖：

（ⅰ） M點在x軸上方時，

若∠AMB 為直角（M點在x軸上），則△ABC為直角三角形，

∵A（2，4）且A和B為和諧點對，B點坐標為（﹣2，﹣4），

∴原點O在AB線段上且O為AB中點，

∴AB＝2OA，

∵A（2，4），

∴OA＝，

∴AB＝，

在Rt△ABC中，

∵O為AB中點

∴MO＝OA＝，

若∠AMB 為銳角，則；

（ⅱ） M點在x軸下方時，同理可得， ，

綜上所述，b的取值范圍為：或．