【題目】已知拋物線y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B
(1)求m的取值范圍;
(2)證明該拋物線一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng) <m≤8時(shí),由(2)求出的點(diǎn)P和點(diǎn)A,B構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值?若有,求出該最值及相對(duì)應(yīng)的m值.

【答案】
(1)

解:當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)為一次函數(shù),不符合題意,舍去;

當(dāng)m≠0時(shí),

∵拋物線y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A、B,

∴△=(1﹣2m)2﹣4×m×(1﹣3m)=(1﹣4m)2>0,

∴1﹣4m≠0,

∴m≠ ,

∴m的取值范圍為m≠0且m≠ ;


(2)

證明:∵拋物線y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m,

∴y=m(x2﹣2x﹣3)+x+1,

拋物線過(guò)定點(diǎn)說(shuō)明在這一點(diǎn)y與m無(wú)關(guān),

顯然當(dāng)x2﹣2x﹣3=0時(shí),y與m無(wú)關(guān),

解得:x=3或x=﹣1,

當(dāng)x=3時(shí),y=4,定點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4);

當(dāng)x=﹣1時(shí),y=0,定點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),

∵P不在坐標(biāo)軸上,

∴P(3,4);


(3)

解:|AB|=|xA﹣xB|= = = = =| |=| ﹣4|,

<m≤8,

<4,

∴﹣ ﹣4<0,

∴0<| ﹣4|≤

∴|AB|最大時(shí),| ﹣4|=

解得:m=8,或m= (舍去),

∴當(dāng)m=8時(shí),|AB|有最大值 ,

此時(shí)△ABP的面積最大,沒(méi)有最小值,

則面積最大為: |AB|yP= × ×4=


【解析】(1)根據(jù)題意得出△=(1﹣2m)2﹣4×m×(1﹣3m)=(1﹣4m)2>0,得出1﹣4m≠0,解不等式即可;(2)y=m(x2﹣2x﹣3)+x+1,故只要x2﹣2x﹣3=0,那么y的值便與m無(wú)關(guān),解得x=3或x=﹣1(舍去,此時(shí)y=0,在坐標(biāo)軸上),故定點(diǎn)為(3,4);(3)由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=| ﹣4|,由已知條件得出 <4,得出0<| ﹣4|≤ ,因此|AB|最大時(shí),| |= ,解方程得出m=8,或m= (舍去),即可得出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn).當(dāng)b2-4ac>0時(shí),圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac=0時(shí),圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)b2-4ac<0時(shí),圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn).).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,拋物線經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(5,0),C(0,- )三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)P是四邊形ABCD外接圓上任意一點(diǎn),且不與四邊形頂點(diǎn)重合,若AD是⊙O的直徑,AB=BC=CD.連接PA,PB,PC,若PA=a,則點(diǎn)A到PB和PC的距離之和AE+AF=

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)于二次函數(shù)y=﹣ +x﹣4,下列說(shuō)法正確的是(
A.當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大
B.當(dāng)x=2時(shí),y有最大值﹣3
C.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,﹣7)
D.圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校為了提升初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,舉辦“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”比賽.現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)小組進(jìn)入決賽,評(píng)委從研究報(bào)告、小組展示、答辯三個(gè)方面為各小組打分,各項(xiàng)成績(jī)均按百分制記錄.甲、乙、丙三個(gè)小組各項(xiàng)得分如表:

小組

研究報(bào)告

小組展示

答辯

91

80

78

81

74

85

79

83

90


(1)計(jì)算各小組的平均成績(jī),并從高分到低分確定小組的排名順序;
(2)如果按照研究報(bào)告占40%,小組展示占30%,答辯占30%計(jì)算各小組的成績(jī),哪個(gè)小組的成績(jī)最高?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB與CE交于F,ED與AB,BC,分別交于M,H.

(1)求證:CF=CH;
(2)如圖2,△ABC不動(dòng),將△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時(shí),試判斷四邊形ACDM是什么四邊形?并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)(不與A重合),連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CN,直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D.

(1)直接寫(xiě)出∠NDE的度數(shù).
(2)如圖2、圖3,當(dāng)∠EAC為銳角或鈍角時(shí),其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?如果不變,選取其中一種情況加以證明;如果變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖4,若∠EAC=15°,∠ACM=60°,直線CM與AB交于G,BD=,其他條件不變,求線段AM的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】小明用的練習(xí)本,一般在甲、乙兩家文具店購(gòu)買,已知兩家文具店的標(biāo)價(jià)都是每本1元,但甲文具店的優(yōu)惠條件是一次購(gòu)買10本以上,從第11本起按標(biāo)價(jià)的70%賣;乙文具店的優(yōu)惠條件是全部按八五折優(yōu)惠.

(1)若小明打算買30本,到哪家店購(gòu)買省錢?

(2)小明現(xiàn)有38元錢,最多可買多少本練習(xí)本?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,AE、FD四點(diǎn)在同一直線上,CEBF,CE=BF,B=C.(1)ABFDCE全等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)ABCD平行嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案