Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G.F為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG.

(1)求證：BG=CF；

(2)求證：CF=2DE；

(3)若DE=1，求AD的長

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用“ASA”判斷△BCG≌△CFA，從而得到BG=CF；

（2）連結(jié)AG，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得CG垂直平分AB，則BG=AG，再證明∠D=∠GAD得到AG=DG，所以BG=DG，接著證明△ADE≌△CGE得到DE=GE，則BG=2DE，利用利用△BCG≌△CFA得到CF=BG，于是有CF=2DE；

（3）先得到BG=2，GE=1，則BE=3，設(shè)CE=x，則BC=AC=2CE=2x，在Rt△BCE中利用勾股定理得到x +（2x）=3，解得x= ，所以BC=，AB= BC=,然后在Rt△ABD中利用勾股定理計算AD的長．

(1)證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴∠CAF=∠ACG=45°，

∵CG平分∠ACB，

∴∠BCG=45°，

在△BCG和△CFA中

，

∴△BCG≌△CFA，

∴BG=CF；

(2)證明：連結(jié)AG，

∵CG為等腰直角三角形ACB的頂角的平分線，

∴CG垂直平分AB，

∴BG=AG，

∴∠GBA=∠GAB，

∵AD⊥AB，

∴∠D+∠DBA=90°,∠GAD+∠GAB=90°，

∴∠D=∠GAD，

∴AG=DG，

∴BG=DG，

∵CG⊥AB，DA⊥AB，

∴CG∥AD，

∴∠DAE=∠GCE,

∵E為AC邊的中點，

∴AE=CE，

在△ADE和△CGE中

，

∴△ADE≌△CGE，

∴DE=GE，

∴DG=2DE，

∴BG=2DE，

∵△BCG≌△CFA，

∴CF=BG，

∴CF=2DE；

(3)∵DE=1，

∴BG=2，GE=1，即BE=3，

設(shè)CE=x，則BC=AC=2CE=2x，

在Rt△BCE中,x+(2x) =3,解得x=，

∴BC=，

∴AB= BC=，

在Rt△ABD中,∵BD=4,AB= ，

∴AD=.