Question

如圖，四邊形OABC是面積為4的正方形，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點B．將正方形OABC分別沿直線AB，BC翻折，得到正方形MABC′，NA′BC．設(shè)MC′、NA′分別與函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點E、F．
（1）求k的值及直線EF的解析式；
（2）在函數(shù)y=

k

x

（x＜0）的圖象上有一點P（a，b），若S_△PEF=

81

4

，求點P的坐標(biāo)；
（3）若線段EF向下平移1個單位得到新的一次函數(shù)，當(dāng)此一次函數(shù)小于反比例函數(shù)值時，求自變量的取值范圍．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,面積及等積變換,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）如圖1，根據(jù)正方形的面積公式可求得點B的坐標(biāo)，從而求得k值，根據(jù)條件可得到點F的縱坐標(biāo)和點E的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式求出其坐標(biāo)，然后運用待定系數(shù)法就可求出直線EF的解析式；
（2）過點P作PQ∥EF交y軸于點Q，連接QE、QF，過點E作EH⊥y軸于H，設(shè)直線EF與y軸交于點D，如圖2，由PQ∥EF可得S_△QEF=S_△PEF=

81

4

，然后根據(jù)S_△QEF=S△_QDE-S_△QDF求出DQ，從而得到點Q的坐標(biāo)，即可得到直線PQ的解析式，然后只需求出直線PQ與反比例函數(shù)y=

k

x

圖象的交點，就可得到點P的坐標(biāo)；
（3）先求出平移后的線段所對應(yīng)函數(shù)的解析式，然后通過驗證可得平移后的線段與反比例函數(shù)y=

k

x

圖象相切于點B，然后只需結(jié)合圖象就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1．
∵四邊形OABC是面積為4的正方形，
∴OA=OC=2，
∴點B坐標(biāo)為（2，2）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過點B，
∴k=2×2=4．
∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，
∴ON=2OC=4，OM=2AO=4，
∴點E橫坐標(biāo)為4，點F縱坐標(biāo)為4．
∵點E、F在函數(shù)y=

4

x

的圖象上，
∴當(dāng)x=4時，y=1，即E（4，1），
當(dāng)y=4時，x=1，即F（1，4）．
設(shè)直線EF解析式為y=mx+n，將E、F兩點坐標(biāo)代入，得

4m+n=1 m+n=4

，
解得

m=-1 n=5

．
∴直線EF的解析式為y=-x+5；

（2）過點P作PQ∥EF交y軸于點Q，連接QE、QF，
過點E作EH⊥y軸于H，設(shè)直線EF與y軸交于點D，如圖2，
則D（0，5），EH=4，F(xiàn)N=1．
∵PQ∥EF，
∴S_△QEF=S_△PEF=

81

4

．
又∵S_△QEF=S_△QDE-S_△QDF
=

1

2

DQ•EH-

1

2

DQ•FN=

1

2

DQ•（4-1）
=

3

2

DQ，
∴

3

2

DQ=

81

4

，
∴DQ=

27

2

．
∴Q（0，5-

27

2

）即（0，-

17

2

），
∴直線PQ的解析式為y=-x-

17

2

．
聯(lián)立

y=-x- 17 2 y= 4 x

，
解得：

x1=-8 y1=- 1 2

，

x2=- 1 2 y2=-8

，
∴點P的坐標(biāo)為（-8，-

1

2

）或（-

1

2

，-8）；

（3）設(shè)線段EF向下平移1個單位后到達(dá)線段MF′，
∵線段EF所對應(yīng)的解析式為y=-x+5（1≤x≤4），
∴線段MF′所對應(yīng)的解析式為y=-x+4（1≤x≤4），
聯(lián)立

y=-x+4 y= 4 x

，
解得

x=2 y=2

，
∴線段MF′與反比例函數(shù)圖象相切于點B．
結(jié)合圖象可得：當(dāng)此一次函數(shù)小于反比例函數(shù)值時，x的取值范圍為1≤x≤4且x≠2．

點評：本題主要考查了運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)等知識，運用等積變換及割補法是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運用數(shù)形結(jié)合是解決第（3）小題的關(guān)鍵．