Question

如圖，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=48°，點D在邊BC上，BD=2CD，把Rt△ABC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)m（0°＜m＜180°）度后，如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m=

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：由于BD=2CD，則把Rt△ABC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)m（0°＜m＜180°）度后，點B的對應點B′可能落在AB或BC邊上，分類討論：當旋轉(zhuǎn)后點B的對應點B′落在AB邊上，如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DB′=DB，∠B′DB=m，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DB′B=∠B=48°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可計算出∠B′DB=180°-∠DB′B-∠B=84°；當點B的對應點B′落在AB邊上，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∴DB′=DB，∠B′DB=m，由于BD=2CD，則DB′=2CD，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠CB′D=30°，再利用互余計算出∠CDB′=60°，然后利用鄰補角的定義得到∠B′DB=120°．

解答：解：當旋轉(zhuǎn)后點B的對應點B′落在AB邊上，如圖1，
∵Rt△ABC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)m（0°＜m＜180°）度得到Rt△A′B′C′，
∴DB′=DB，∠B′DB=m，
∴∠DB′B=∠B=48°，
∴∠B′DB=180°-∠DB′B-∠B=84°，即m=84°；
當點B的對應點B′落在AB邊上，如圖2，
∵Rt△ABC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)m（0°＜m＜180°）度得到Rt△A′B′C′，
∴DB′=DB，∠B′DB=m，
∵BD=2CD，
∴DB′=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠CB′D=30°，
∴∠CDB′=60°，
∴∠B′DB=180°-60°=120°，即m=120°，
綜上所述，m的值為84°或120°．
故答案為84°或120°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．