Question

9．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD為△ABC的外角平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，且∠B=2∠D．求證：AB+AC=CD．

Answer 1

分析 過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，由“在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”可知DE=DC，再證明Rt△ACD≌Rt△AED，由此可得AC=AE，在證明BE=DE即可．

解答 證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，
又∵∠ACB=90°（已知），
∴DE=DC（在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）．
在Rt△ACD和Rt△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}&{（已證）}\\{AD=AD}&{（公共邊）}\end{array}\right.$
∴Rt△ACD≌Rt△AED（H．L）．
∴AC=AE，∠CDA=∠EDA．
∵∠B=2∠D（已知），
∴∠B=∠BDE．
∴BE=DE．
又∵AB+AE=BE，
∴AB+AC=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線使得AB與AC在同一條直線上才好證 AB+AC=CD．