Question

如圖，反比例函數(shù)y₁=

k

x

（k＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-

3

，m），連結(jié)AO并延長交雙曲線于另一點(diǎn)D，過A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，過D作DE⊥y軸交AB延長線于點(diǎn)E，且△AED的面積為4

3

．
（1）求m與k的值；
（2）若過A點(diǎn)的直線y₂=ax+b與x軸正半軸交于C點(diǎn)，且∠ACO=30°，求直線解析式；
（3）當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，請直接寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）由對稱性易得OA=OD=

1

2

AD，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出△ABO的面積，從而得到k的值及m的值．
（2）由條件利用特殊角的三角函數(shù)值可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求出直線的解析式．
（3）先求出直線與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用圖象就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵直線AD與反比例函數(shù)y₁=

k

x

的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴OA=OD=

1

2

AD．
∵DE⊥y軸，OB⊥y軸，
∴OB∥DE．
∴△ABO∽△AED．
∴

S△ABO

S△AED

=（

AO

AD

）²=

1

4

．
∵S_△AED=4

3

，
∴S_△ABO=

3

．
∵AB⊥OB，
∴-

k

2

=

3

．
∴k=-2

3

．
∵反比例函數(shù)y₁=

k

x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-

3

，m），
∴-

3

m=-2

3

．
∴m=2．
∴k的值為-2

3

，m的值為2．

（2）如圖2，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

3

，2），
∴OB=

3

，AB=2．
∵AB⊥BC，∠ACB=30°，
∴tan30°=

AB

BC

=

2

BC

=

3

3

．
∴BC=2

3

．
∴OC=

3

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

3

，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y₂=kx+b，
∴

- 3 k+b=2 3 k+b=0

．
解得：

k=- 3 3 b=1

．
∴直線AC的解析式為y₂=-

3

3

x+1．

（3）設(shè)直線AC與反比例函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作FH⊥x軸，垂足為H，如圖2，
聯(lián)立

y=- 3 3 x+1 y=- 2 3 x

，
解得：

x=- 3 y=2

或

x=2 3 y=-1

．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2

3

，-1）．
結(jié)合圖象可得：當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍是-

3

＜x＜0或x＞2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想，是一道好題．