Question

已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象上，當(dāng)x₁=1，x₂=3時(shí)，y₁=y₂．

（1）①求m的值；②若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求n的值；

（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且b₁＞b₂，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

【專題】計(jì)算題．

【分析】（1）①利用當(dāng)x₁=1，x₂=3時(shí)函數(shù)值相等得到1+m+n=9+3m+n，然后解關(guān)于m的方程即可得到m的值；

②根據(jù)△=b²﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)得到16﹣4n=0，然后解關(guān)于n的方程即可；

（2）討論：當(dāng)P（a，b₁），Q（3，b₂）在對(duì)稱軸的右側(cè)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)易得a＞3時(shí)，b₁＞b₂；當(dāng)P（a，b₁），Q（3，b₂）在對(duì)稱軸的兩側(cè)，通過(guò)比較兩點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離的大小可判斷a＜1時(shí)，b₁＞b₂．

【解答】解：（1）①∵x₁=1，x₂=3時(shí)，y₁=y₂，

∴1+m+n=9+3m+n，

∴m=﹣4；

②∵拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴△=m²﹣4n=0，即16﹣4n=0，

∴n=4；

（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

∴當(dāng)P（a，b₁），Q（3，b₂）在對(duì)稱軸的右側(cè)，則a＞3時(shí)，b₁＞b₂；

當(dāng)P（a，b₁），Q（3，b₂）在對(duì)稱軸的兩側(cè)，而當(dāng)x₁=1，x₂=3時(shí)，y₁=y₂，則a＜1時(shí)，b₁＞b₂．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜1或a＞3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了分類討論思想的運(yùn)用．