Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A（$\frac{3}{2}$，6），B（-3，0），C（6，0），點P在線段AB上，過點P作PQ∥x軸，交AC與點Q，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m．
（1）求線段AB，AC所在直線的解析式；
（2）設(shè)PQ的長為d，求出d與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在x軸上是否存在一點M，使△PQM為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，將A（$\frac{3}{2}$，6），B（-3，0）代入函數(shù)解析式，解方程組即可．
（2）求出P、Q兩點坐標(biāo)，d=Q的橫坐標(biāo)-P的橫坐標(biāo)．
（3）分三種情形討論①當(dāng)MP=MQ，∠PMQ=90°時，點M在線段PQ的垂直平分線上，②當(dāng)MP=PQ，∠MPQ=90時，③當(dāng)MQ=PQ，∠PQM=90°時，列出方程求出m即可．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，
將A（$\frac{3}{2}$，6），B（-3，0）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=6}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
直線AB的函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4，
同理可求得直線AC的函數(shù)解析式為y=-$\frac{4}{3}x$+8，

（2）當(dāng)y=m時，代入y=$\frac{4}{3}$x+4得x=$\frac{3}{4}$m-3，
即P（$\frac{3}{4}$m-3，m），
當(dāng)y=m時，代入y=-$\frac{4}{3}$x+8得x=-$\frac{3}{4}$m+6，
即Q（-$\frac{3}{4}$m+6，m），
∴d=PQ=-$\frac{3}{4}$m+6-（$\frac{3}{4}$m-3）=-$\frac{3}{2}$m+9，

（3）①當(dāng)MP=MQ，∠PMQ=90°時，點M在線段PQ的垂直平分線上，
∴線段PQ的中點坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，m），
∴M（$\frac{3}{2}$，0），
②當(dāng)MP=PQ，∠MPQ=90時，由題意m=-$\frac{3}{2}$m+9，
∴m=$\frac{18}{5}$，
∴點P縱坐標(biāo)為$\frac{18}{5}$，
∴$\frac{18}{5}$=$\frac{4}{3}$x+4，
∴x=-$\frac{3}{10}$，
此時點M（-$\frac{3}{10}$，0）
③當(dāng)MQ=PQ，∠PQM=90°時，由②可知，點M的橫坐標(biāo)為$\frac{18}{5}$-$\frac{3}{10}$=$\frac{33}{10}$，
此時點M（$\frac{33}{10}$，0）
綜上所述點M₁（-$\frac{3}{10}$，0）或M₂（$\frac{33}{10}$，0）或M₃（$\frac{3}{2}$，0）．

點評 本題考查三角形綜合題、一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，學(xué)會分類討論，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．