Question

1．如圖，已知△ABC，DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M在邊BC上，AM交DE于點(diǎn)F．
（1）求證：$\frac{DF}{FE}$=$\frac{BM}{MC}$；
（2）當(dāng)M是BC的中點(diǎn)時(shí)，探求DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，由此你可以得到一個(gè)什么樣的結(jié)論？與同伴交流．
（3）當(dāng)M為中點(diǎn)，且$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$時(shí)，求證：點(diǎn)F是△ABC的重心．

Answer 1

分析 （1）利用DE∥BC可判斷△ADF∽△ABM，△AEF∽△AMC，則利用相似三角形的性質(zhì)得$\frac{DF}{BM}$=$\frac{AF}{AM}$，$\frac{EF}{MC}$=$\frac{AF}{AM}$，所以$\frac{DF}{BM}$=$\frac{EF}{MC}$，然后利用比例性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）利用BM=CM和（1）中的結(jié)論可得到DF=EF；
（3）取AC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN，BN交AM于F′，如圖，證明△ADE∽△ABC和△ADF∽△ABM可得到$\frac{AF}{AM}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，則$\frac{AF}{FM}$=2，再利用MN為△ABC的中位線和△F′AB∽△F′MN可得到$\frac{AF′}{F′M}$=$\frac{AB}{MN}$2，所以點(diǎn)F′與點(diǎn)F重合，由于點(diǎn)F′為△ABC的重心，于是可判斷點(diǎn)F是△ABC的重心．

解答 （1）證明：∵DE∥BC，
∴△ADF∽△ABM，△AEF∽△AMC，
∴$\frac{DF}{BM}$=$\frac{AF}{AM}$，$\frac{EF}{MC}$=$\frac{AF}{AM}$，
∴$\frac{DF}{BM}$=$\frac{EF}{MC}$，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{BM}{MC}$；
（2）解：DF=EF．理由如下：
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
而$\frac{DF}{EF}$=$\frac{BM}{MC}$，
∴DF=EF；
（3）解：取AC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，BN，BN交AM于F′，如圖，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵∴△ADF∽△ABM，
∴$\frac{AF}{AM}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AF}{FM}$=2，
∵M(jìn)點(diǎn)BC的中點(diǎn)，N點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴MN為△ABC的中位線，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB，
∵△F′AB∽△F′MN，
∴$\frac{AF′}{F′M}$=$\frac{AB}{MN}$2，
∴點(diǎn)F′與點(diǎn)F重合，
而點(diǎn)F′為△ABC的重心，
∴點(diǎn)F是△ABC的重心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形綜合題：熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)；解決問題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用比例的性質(zhì)．