Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．點(diǎn)E在線段BA上從B點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動，F(xiàn)是射線CD上一動點(diǎn)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中始終保持EF＝5，且CF>BE，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，連接AP．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動時(shí)間為ts．

（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中，AP的長度存在一個(gè)最小值，當(dāng)AP的長度取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置應(yīng)該在 ．

（2）當(dāng)AP⊥EF時(shí)，求出此時(shí)t的值

（3）以P為圓心作⊙P，當(dāng)⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時(shí)，求出此時(shí)t的值，并指出此時(shí)⊙P的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）AD的中點(diǎn)；（2）t=（s）；（3），；，

【解析】

（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中始終保持EF＝5，且CF>BE，故EF在運(yùn)動過程中始終保持平行移動，因?yàn)辄c(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，則點(diǎn)P始終在過EF的中點(diǎn)且平行于AB的直線上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡為一條線段，在運(yùn)動過程中，根據(jù)垂線段最短可得P為AD的中點(diǎn)時(shí)，AP的長度最��；
（2）首先過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，易證得△APE∽△EGF，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AE的長，繼而求得答案；
（3）分兩種情況考慮：當(dāng)⊙P在矩形ABCD內(nèi)分別與AB、AD、CD相切于點(diǎn)Q、R、N時(shí)，連接PQ，PR，PN，如圖3所示，可得出四邊形AQPR和四邊形RPND為兩個(gè)全等的正方形，其邊長為大正方形邊長的一半，在直角三角形PQE中，由PE與PQ的長，利用勾股定理求出EQ的長，進(jìn)而由BA+AQ-EQ求出BE的長，即為t的值，并求出此時(shí)⊙P的半徑；當(dāng)⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點(diǎn)Q、R、N時(shí)，如圖4所示，同理求出BE的長，即為t的值，并求出此時(shí)⊙P的半徑．

（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中始終保持EF＝5，且CF>BE，故EF在運(yùn)動過程中始終保持平行移動，因?yàn)辄c(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，則點(diǎn)P始終在過EF的中點(diǎn)且平行于AB的直線上運(yùn)動，運(yùn)動軌跡為一條線段，如圖所示：根據(jù)垂線段最短可得P為AD的中點(diǎn)時(shí)，AP的長度最��；

故答案為：AD的中點(diǎn)；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，如圖2
則四邊形BCGE是矩形，
∴EG=BC=3，AB∥CD，

∴FG=，∠AEP=∠EFG

∵AP⊥EF，
∴∠APE=∠EGF=90°，
∴△APE∽△EGF，

∴

∴

∴AE=

∴BE=6-

∴t=（s）

（3）如圖3，當(dāng)⊙P在矩形ABCD內(nèi)分別與AB、AD、CD相切于點(diǎn)Q、R、N時(shí)，
連接PQ、PR、PN，則PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，

則四邊形AQPR與四邊形RPND為兩個(gè)全等的正方形，
∴PQ=AQ=AR=DR=AD=，
在Rt△PQE中，EP=，由勾股定理可得：EQ=2，
∴BE=BA-EQ-AQ=6-2-=，
∴t=，此時(shí)⊙P的半徑為；
如圖4，當(dāng)⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點(diǎn)Q、R、N時(shí)，

類比圖3可得，EQ=2，AQ=，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+-2=，
∴t=，此時(shí)⊙P的半徑為．