【題目】如圖,已知△BAD≌△EBC,∠BAD=∠BCE=90°,∠ABD=∠BEC=30°,點(diǎn)M為DE的中點(diǎn),過點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N.
(1)如圖1,當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí),判斷AC與CN數(shù)量關(guān)系為________;
(2)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí),(1)中的結(jié)論是否仍成立?若成立,試證明之,若不成立,請(qǐng)說明理由;
(3)將圖1中△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)過程中△CAN能否為等腰直角三角形?若能,直接寫出旋轉(zhuǎn)角度;若不能,說明理由.
【答案】(1)AC=CN;(2)成立,證明見解析;(3)△CAN能成為等腰直角三角形,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為60°.
【解析】
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠NEM=∠ADM,由中點(diǎn)的定義可得DM=EM,利用ASA可證明△ADM≌△NEM,可得AD=NE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=BC,AB=CE,根據(jù)等量代換的NE=BC,由∠BEC=30°,可得∠NEC=∠ABC=120°,利用SAS可證明△ABC≌△NEC,即可證明AC=NC,可得答案;
(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,同(1)可證明△MEN≌△MDA,可得NE=BC,可利用α表示出∠ABC、∠DBE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可用α表示出∠CEN,即可得出∠ABC=∠CEN,利用SAS可證明△ABC≌△CEN,即可證明(1)中結(jié)論依然成立;
(3)由△CAN為等腰直角三角形,AC=CN可得∠CAN=90°,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,可知旋轉(zhuǎn)過程中∠ABC=120°+,可得∠ABC=180°時(shí),∠CAN=90°,進(jìn)而求出的度數(shù)即可.
(1)AC與CN數(shù)量關(guān)系為:AC=CN.理由如下:
∵△BAD≌△BCE,
∴BC=AD,EC=AB,
∵EN∥AD,∠DAB=90°,
∴∠MEN=∠MDA.∠BEN=90°,
∵∠BEC=30°,∠BCE=90°,
∴∠CEN=120°,∠ABC=120°,
∴∠CEN=∠ABC,
∵M為DE的中點(diǎn),
∴MD=ME,
在△MEN與△MDA中,,
∴△MEN≌△MDA(ASA),
∴EN=AD,
∴EN=BC.
在△ABC與△CEN中,,
∴△ABC≌△CEN(SAS),
∴AC=CN.
(2)結(jié)論仍然成立.理由如下:
與(1)同理,可證明△MEN≌△MDA,
∴EN=BC.
設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,
∴∠ABC=120°+α,
∵∠ABD=30°,
∴∠DBE=150°-α,
∵BD=BE,
∴∠BED=∠BDE=(180°-∠DBE)=15°+α,
∵EN∥AD,
∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=60°+(15°+α)=75°+α,
∴∠CEN=∠CEB+∠BED+∠MEN=30°+(15°+α)+(75°+α)=120°+α,
∴∠ABC=∠CEN,
在△ABC與△CEN中,,
∴△ABC≌△CEN(SAS),
∴AC=CN.
(3)如圖,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,
∵圖1中∠ABC=120°,
∴旋轉(zhuǎn)過程中,∠ABC=120°+,
∵△CAN為等腰直角三角形,AC=CN,
∴∠CAN=90°,
∴當(dāng)∠ABC=180°時(shí),∠CAN=90°,即點(diǎn)A、B、C在一條直線上,點(diǎn)N、E、C在一條直線上.
∴=180°-120°=60°
∴△CAN能成為等腰直角三角形,此時(shí)旋轉(zhuǎn)角為60°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形OABC中,O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,b),且a、b滿足+|b-6|=0,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動(dòng).
(1)a=______________,b=_____________,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_______________;
(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒時(shí),請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在移動(dòng)過程中,當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為5個(gè)單位長度時(shí),求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點(diǎn)E.
(1)求∠CBE的度數(shù);
(2)過點(diǎn)D作DF∥BE,交AC的延長線于點(diǎn)F,求∠F的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1+∠2=180°,∠3=B,
(1)證明:EF∥AB.
(2)試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系,并說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組,有且僅有四個(gè)整數(shù)解,且使關(guān)于y的分式方程有非負(fù)數(shù)解,則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在圓心角為135°的扇形OAB中,半徑OA=2cm,點(diǎn)C,D為 的三等分點(diǎn),連接OC,OD,AC,CD,BD,則圖中陰影部分的面積為cm2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,點(diǎn)F是射線DC上一動(dòng)點(diǎn)(不與C,D重合).連接AF并延長交直線BC于點(diǎn)E,交BD于H,連接CH,過點(diǎn)C作CG⊥HC交AE于點(diǎn)G.
(1)若點(diǎn)F在邊CD上,如圖1.
①證明:∠DAH=∠DCH;
②猜想:△GFC的形狀并說明理由.
(2)取DF中點(diǎn)M,連接MG.若MG=2.5,正方形邊長為4,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABE中,∠B=60°,AB=8,C、D分別是△ABE的邊AE延長線上和邊BE延長線上兩點(diǎn),連接CD,∠A-∠C=60°,AB=CD,DE=6,則線段AC的長度等于______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品共60件,需購買甲、乙兩種材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品需甲種材料4千克;生產(chǎn)一件產(chǎn)品需甲、乙兩種材料各3千克.經(jīng)測算,購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金60元;購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金155元.
(1)甲、乙兩種材料每千克分別是多少元?
(2)現(xiàn)工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過9900元,且生產(chǎn)產(chǎn)品不少于38件,問符合生產(chǎn)條件的生產(chǎn)方案有哪幾種?
(3)在(2)的條件下,若生產(chǎn)一件產(chǎn)品需加工費(fèi)40元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品需加工費(fèi)50元,應(yīng)選擇哪種生產(chǎn)方案,使生產(chǎn)這60件產(chǎn)品的成本最低(成本=材料費(fèi)+加工費(fèi))?
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