Question

如圖，已知直角坐標(biāo)平面上的△ABC，AC=CB，∠ACB=90°，且A（-1，0），B（m，n），C（3，0）．若拋物線y=ax²+bx-3經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．
（1）求a、b的值；
（2）將拋物線向上平移若干個單位得到的新拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求新拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中的新拋物的頂點(diǎn)P點(diǎn)，Q為新拋物線上P點(diǎn)至B點(diǎn)之間的一點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心畫圖，當(dāng)⊙Q與x軸和直線BC都相切時，聯(lián)結(jié)PQ、BQ，求四邊形ABQP的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,正方形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）只需把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式就可解決問題；
（2）可設(shè)新拋物線的解析式為y=x²-2x-3+k，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入新拋物線的解析式，就可解決問題；
（3）設(shè)⊙Q與x軸相切于點(diǎn)D，與直線BC相切于點(diǎn)E，連接QD、QE，易證四邊形QECD是正方形，則有QD=DC．設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，3-t），代入新拋物線的解析式，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后運(yùn)用割補(bǔ)法就可求出四邊形ABQP的面積．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3經(jīng)過A（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得：

a=1 b=-2

；

（2）設(shè)拋物線向上平移k個單位后得到的新拋物線恰好經(jīng)過點(diǎn)B，
則新拋物線的解析式為y=x²-2x-3+k，
∵A（-1，0）、C（3，0），
∴CB=AC=3-（-1）=4，
∵∠ACB=90°，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4）．
∵點(diǎn)B（3，4）在拋物線y=x²-2x-3+k上，
∴9-6-3+k=4，
解得：k=4，
∴新拋物線的解析式為y=x²-2x+1；

（3）設(shè)⊙Q與x軸相切于點(diǎn)D，與直線BC相切于點(diǎn)E，連接QD、QE，如圖所示，
則有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，
∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°，
∴四邊形QECD是矩形．
∵QD=QE，
∴矩形QECD是正方形，
∴QD=DC．
設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為t，
則有OD=t，QD=DC=OC-OD=3-t，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，3-t）．
∵點(diǎn)Q在拋物線y=x²-2x+1上，
∴t²-2t+1=3-t，
解得：t₁=2，t₂=-1．
∵Q為拋物線y=x²-2x+1上P點(diǎn)至B點(diǎn)之間的一點(diǎn)，
∴t=2，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，1），
∴OD=2，QD=CD=1．
由y=x²-2x+1=（x-1）²得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），
∴OP=1，PD=OD-OP=2-1=1，
∴S_{四邊形ABQP}=S_△ACB-S_△PDQ-S_梯形DQBC
=

1

2

AC•BC-

1

2

PD•QD-

1

2

（QD+BC）•DC
=

1

2

×4×4-

1

2

×1×1-

1

2

×（1+4）×1
=5，
∴四邊形ABQP的面積為5．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、正方形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（3）小題的關(guān)鍵．