Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn)A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點(diǎn)M稱為碟頂，點(diǎn)M到線段AB的距離稱為碟高．
（1）拋物線y=x²對(duì)應(yīng)的碟寬為　 　；拋物線y=4x²對(duì)應(yīng)的碟寬為　 　；拋物線y=ax²（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為　　；拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為　　；
（2）拋物線y=ax²﹣4ax﹣（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；
（3）將拋物線y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)蝶形記為F_n（n=1，2，3…），定義F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．若F_n與F_n﹣1的相似比為，且F_n的碟頂是F_n﹣1的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為F₁．
①求拋物線y₂的表達(dá)式；
②若F₁的碟高為h₁，F(xiàn)₂的碟高為h₂，…F_n的碟高為h_n，則h_n=　　，F(xiàn)_n的碟寬有端點(diǎn)橫坐標(biāo)為　2　；F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達(dá)式；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）4；1；；．

試題分析：（1）根據(jù)定義可算出y=ax²（a＞0）的碟寬為、碟高為，由于拋物線可通過平移y=ax²（a＞0）得到，得到碟寬為、碟高為，由此可得碟寬、碟高只與a有關(guān)，與別的無關(guān)，從而可得．
（2）由（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬易得a的值．
（3）①根據(jù)y₁，容易得到y(tǒng)₂．
②結(jié)合畫圖，易知h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在直線x=2上，可以考慮h_n∥h_n﹣1，且都過F_n﹣1的碟寬中點(diǎn)，進(jìn)而可得．畫圖時(shí)易知碟寬有規(guī)律遞減，由此可得右端點(diǎn)的特點(diǎn)．對(duì)于“F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？”，我們可以推測(cè)任意相鄰的三點(diǎn)是否在一條直線上，如果相鄰的三個(gè)點(diǎn)不共線則結(jié)論不成立，反之則成立，所以可以考慮基礎(chǔ)的幾個(gè)圖形關(guān)系，利用特殊點(diǎn)求直線方程即可．
試題解析：（1）4；1；；．
∵a＞0，
∴y=ax²的圖象大致如下：

其必過原點(diǎn)O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點(diǎn)為C，連接OA，OB．
∵△DAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，
∴OC⊥AB，
∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°，
∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=-y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（﹣，），B（，），C（0，），
∴AB=，OC=，
即y=ax²的碟寬為．
①拋物線y=x²對(duì)應(yīng)的a=，得碟寬為4；
②拋物線y=4x²對(duì)應(yīng)的a=4，得碟寬為為；
③拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為；
④拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）可看成y=ax²向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖形，
∵平移不改變形狀、大小、方向，
∴拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）的準(zhǔn)碟形與拋物線y=ax²的準(zhǔn)碟形全等，
∵拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為，
∴拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0），碟寬為．
（2）∵y=ax²﹣4ax﹣，
∴由（1），其碟寬為，
∵y=ax²﹣4ax﹣的碟寬為6，
∴=6，
解得A=，
∴y=x²﹣x﹣=（x﹣2）²﹣3
（3）①∵F₁的碟寬：F₂的碟寬=2：1，
∴=，
∵a₁=，
∴a₂=．
∵y=（x﹣2）²﹣3的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∴F₂的碟頂坐標(biāo)為（2，0），
∴y₂=（x﹣2）²．
②∵F_n的準(zhǔn)碟形為等腰直角三角形，
∴F_n的碟寬為2h_n，
∵2h_n：2h_n﹣1=1：2，
∴h_n=h_n﹣1=（）²h_n﹣2=（）³h_n﹣3=…=（）ⁿ⁺¹h₁，
∵h(yuǎn)₁=3，
∴h_n=．
∵h(yuǎn)_n∥h_n﹣1，且都過F_n﹣1的碟寬中點(diǎn)，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在一條直線上，
∵h(yuǎn)₁在直線x=2上，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在直線x=2上，
∴F_n的碟寬右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+．
另，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點(diǎn)在一條直線上，直線為y=﹣x+5．
分析如下：
考慮F_n﹣2，F(xiàn)_n﹣1，F(xiàn)_n情形，關(guān)系如圖2，

F_n﹣2，F(xiàn)_n﹣1，F(xiàn)_n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F(xiàn)，I分別為其碟寬的中點(diǎn)，都在直線x=2上，連接右端點(diǎn)，BE，EH．
∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，
∴四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都過E點(diǎn)，
∴HE，EB在一條直線上，
∴F_n﹣2，F(xiàn)_n﹣1，F(xiàn)_n的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線，
∴F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬的右端點(diǎn)是在一條直線．
∵F₁：y₁=（x﹣2）²﹣3準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
F₂：y₂=（x﹣2）²準(zhǔn)碟形右端點(diǎn)坐標(biāo)為（2+，），
∴待定系數(shù)可得過兩點(diǎn)的直線為y=﹣x+5，
∴F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬的右端點(diǎn)是在直線y=﹣x+5上．