Question

操作探究：

（1）現(xiàn)有一塊等腰三角形紙板，量得周長(zhǎng)為32cm，底比一腰多2cm．若把這個(gè)三角形紙板沿其對(duì)稱(chēng)軸剪開(kāi)，拼成一個(gè)四邊形，請(qǐng)畫(huà)出你能拼成的各種四邊形的示意圖

（2）計(jì)算拼成的各個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的和．

（3）另用紙片制作一個(gè)直角邊為4的等腰Rt△OPQ,將（1）中的剪得的Rt△ABD紙片的直角頂點(diǎn)D和PQ的中點(diǎn)M重合（如圖所示），以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)Rt△ABD紙片，Rt△ABD紙片的兩直角邊與⊿POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)E、F. 連接EF，探究：在旋轉(zhuǎn)三角形紙板的過(guò)程中，△EOF的周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

探究畫(huà)圖；19.6；4+2

【解析】

試題分析：（1）

(2) 設(shè)AB＝AC＝xcm，則BC＝（x＋2）cm，由題意得解得x＝10cm．因此AB＝AC＝10cm，則BC＝12cm，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∴BD＝CD＝6cm，∴AD＝8cm．

可以拼成四種四邊形，如上圖所示．

如圖⑴，兩對(duì)角線(xiàn)之和為10＋10＝20cm；

如圖⑵，AD＝，∴兩對(duì)角線(xiàn)和為；

如圖⑶，BC＝，∴兩對(duì)角線(xiàn)和為；

如圖⑷，∵，∴CO＝4.8cm，CD＝9.6cm．∴兩對(duì)角線(xiàn)之和為19.6cm．8分

(3)答：△EOF的周長(zhǎng)存在最小值理由是:連接OM 

∵ Rt⊿POQ中，OP="OQ" =4,M是PQ的中點(diǎn)

∴OM=PM=PQ=2

∠POM=∠FOM=∠P=45°  ∵∠PME+∠EMO=∠OMF+∠EMO

∴∠PME=∠OMF   ⊿PME≌⊿OMF 

∴ ME=MF

∴ PE=OF   ∴OE+OF=OE+PE=OP=4

令OE=x  EF=y則y²=x²+(4－x)²=2x²－8x+16

=2(x－2)²+8≥8

當(dāng)x=2時(shí)y²有最小值=8從而 y≥2

故△EOF的周長(zhǎng)存在最小值，其最小值是4+2                        

考點(diǎn)：全等三角形的性質(zhì)和判定

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．