Question

20．已知，如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，G為CD上的一點(diǎn)，連接DF，EG，AG，∠1=∠2．
（1）求證：G為CD的中點(diǎn)；
（2）求證：AG=EG．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)證△ECG≌△DCF得到CG=CF，結(jié)合已知條件知CG=$\frac{1}{2}$CD，即G為CD的中點(diǎn)．
（2）取AB中點(diǎn)為H，連接HG，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．

解答 證明：（1）∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，
∴CF=$\frac{1}{2}$CE
在△ECG與△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{∠C=∠C}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CG=CF=$\frac{1}{2}$CE．
又CE=CD，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD，
即G為CD的中點(diǎn)；
（2）取AB中點(diǎn)為H，連接HG，

則HG∥BC，
∴AE⊥HG，即AE⊥OG，
∵H為中點(diǎn)，HO∥BE，
∴O為AE的中點(diǎn)，
∴△AEG為等腰三角形，
∴AG=EG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理．