Question

18．在正方形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，連接BE．
（1）請你在圖1畫出△BEM，使得△BEM與△BEC關(guān)于直線BE對稱；
（2）若邊AD上存在一點(diǎn)F，使得AF+CE=EF，請你在圖2中探究∠ABF與∠CBE的數(shù)量關(guān)系并證明；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E為邊CD的三等分點(diǎn)，且CE＜DE，請寫出求cos∠FED的思路．（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，判斷出△BAF≌△BCG，再判斷出△BEF≌△BEG即可；
（3）由題意表示出線段，再用EF²=DF²+DE²，列出方程，解出即可．

解答 （1）補(bǔ)全圖形，如圖1所示，

∠ABF與∠CBE的數(shù)量關(guān)系為：∠ABF+CBE=45°，
證明：如圖2，

連接BF，EF，延長DC到G，使CG=AF，連接BG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∴△BAF≌△BCG，
∴BF=BG，∠ABF=∠CBG，
∵AF+CE=EF，
∴EF=GE，
∴△BEF≌△BEG，
∴∠FBE=∠GBE=∠ABF+∠CBE，
∴∠ABF+∠CBE=45°．
（3）解：設(shè)正方形的邊長為3a，AF=x，
∵點(diǎn)E是CD三等分點(diǎn)
∴EF=CG+CE=x+a，DE=2a，DF=3a-x，
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²，
∴（x+a）²=（3a-x）²+（2a）²，
∴x=$\frac{3}{2}$a，
∴EF=x+a=$\frac{3}{2}$a+a=$\frac{5}{2}$，
∴cos∠FED=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{2a}{\frac{5}{2}a}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，三角函數(shù)，判斷三角形全等（△BEF≌△BEG）解本題的關(guān)鍵，點(diǎn)E是CD三等分點(diǎn)的運(yùn)用是解本題的難點(diǎn)．