Question

6．如圖，已知：在?ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，則EF+BF的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，從而可知BF=DF，則EF+BF=EF+DF，當(dāng)點(diǎn)D、F、E共線時(shí)，EF+BF有最小值．

解答 解：∵?ABCD中，AB=AD，
∴四邊形ABCD為菱形．
∴點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱．
∴BF=DF．
連接DE．

∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=1．
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{2}$
又∵∠DAB=60°，
∴cos∠DAE=$\frac{1}{2}$．
∴△ADE為直角三角形．
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是最短路徑、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)和判定，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)將EF+FB的最小值轉(zhuǎn)化為DF+EF的最小值是解題的關(guān)鍵．