Question

5．如圖．點A，B在平面直角坐標系中的坐標分別為（0，2），（a，4），動點P從點A出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位長的速度向上移動，過點P的直線l：y=-2x+m與過點B且平行于x軸的直線交于點M，與x軸交于點N，設移動時間為t秒．
（1）當t=2秒時，求m的值；
（2）當t為何值時，OM是△OPN的中線？
（3）若直線l與雙曲線y=$\frac{2}{x}$有兩個公共點．請結合圖象指出t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據點P的運動規(guī)律即可找出點P的坐標，結合一次函數圖象上點的坐標特征找出m與t之間的關系，再代入t=2求出點m的值，此題得解；
（2）根據點B的坐標可找出直線MB的解析式，聯(lián)立直線l與直線MB的解析式成方程組，解方程組求出點M的坐標，再根據中位線的性質即可得出關于t的一元一次方程，解方程即可得出t值；
（3）將直線l的解析式代入雙曲線中，整理得出關于x的一元二次方程，根據兩函數圖象有兩個交點結合根的判別式即可得出m的取值范圍，再由m、t之間的關系即可得出t的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：點P的坐標為（0，2+t），
將點P（0，2+t）代入y=-2x+m中，得：2+t=m，
當t=2時，m=2+2=4，
∴當t=2秒時，m的值為4．
（2）∵B（a，4），
∴直線MB的解析式為y=4．
聯(lián)立直線l與直線MB的解析式成方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=4}\\{y=-2x+m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-4}{2}}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{m-4}{2}$，4）．
∵OM是△OPN的中線，
∴點M是線段PN的中點，
∴4×2=0+2+t，
解得：t=6．
∴當t=6秒時，OM是△OPN的中線．
（3）將y=-2x+m代入y=$\frac{2}{x}$中，得：-2x+m=$\frac{2}{x}$，
即2x²-mx+2=0．
∵直線l與雙曲線y=$\frac{2}{x}$有兩個公共點，
∴△=（-m）²-4×2×2＞0，
解得：m＞4或m＜-4，
∵m=2+t，t≥0，
∴2+t＞4，解得：t＞2．
∴若直線l與雙曲線y=$\frac{2}{x}$有兩個公共點，t的取值范圍為t＞2．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、解二元一次方程組以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）找出m與t之間的關系；（2）根據中點的性質找出關于t的一元一次方程；（3）由根的判別式找出m的取值范圍．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據根的判別式找出不等式是關鍵．