Question

如圖，已知拋物線y=x²-2x-3與x軸從左至右分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求與直線BC平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線解析式；
（2）若線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)E，過E作平行于y軸的直線交拋物線于F，當(dāng)線段EF取得最大值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)x等于零時(shí)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y等于零時(shí)，可得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線BC的斜率，根據(jù)平行線的斜率相等，可得平行BC的直線的斜率，根據(jù)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，可得直線與拋物線聯(lián)立所得的一元二次方程有一對(duì)相等的實(shí)數(shù)根，可得判別式等于零；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線AD的解析式，根據(jù)E點(diǎn)在線段AB上，可設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)EF∥y軸，F(xiàn)在拋物線上，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，即A（-1，0），B（3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即C（0，-3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，直線BC經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C，得

3k+b=0 b=-3

，解得

k=1 b=-3

，
設(shè)平行于BC且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線解析式為y=x+b，
由題意，得

y=x+b① y=x2-2x-3②

，②-①，得
x²-3x-3-b=0，只有一個(gè)交點(diǎn)，得
△=（-3）²-4×（-b-3）=0，
解得b=-

21

4

，
與直線BC平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線解析式y(tǒng)=x-

21

4

；
（2）y=x²-2x-3，當(dāng)x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1時(shí)，y=

4ac-b2

4a

=

4×1×(-3)-(-2)2

4×1

=-4
即D（1，-4），
設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，AD的圖象過點(diǎn)A、D，得

-k+b=0① k+b=-4②

，
解得

k=-2 b=-2

，
直線AD的解析式是y=-2x-2，
線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)E，過E作平行于y軸的直線交拋物線于F，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)是（x，-2x-2），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)是（x，x²-2x-3），-1≤x≤1，
EF的長是：y=（-2x-2）-（x²-2x-3）=-x²+1
當(dāng)x=0時(shí)，EF_最大=1，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，-2），
當(dāng)線段EF取得最大值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元二次方程的判別式，兩點(diǎn)間的距離公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．