Question

【題目】如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）求證：AC2=ADAB；

（3）若AD=，sinB=，求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

【解析】分析：（1）連接OC，由可以得到 證出AD∥OC，由平行線的性質(zhì)證出，即可得出結(jié)論；
（2）由圓周角定理證出 證明 得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論；
（3）由相似三角形的性質(zhì)得出 得出求出 在中，由勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)．

詳解：(1)證明：連接OC，如圖所示：

∵CD切于C，

∴CO⊥CD，

又∵AD⊥CD，

∴AD∥CO.

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD.

(2)證明：∵AB為的直徑，

∴

∵∠DAC=∠CAO，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD:AC=AC:AB，

∴

(3)由(2)得：△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∴

∴

∵

∴

在Rt△ABC中,