Question

如圖在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=10，AC=5，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)為止，運(yùn)動(dòng)為每秒2個(gè)單位長度．過點(diǎn)P作PM∥BC，交AC于點(diǎn)M，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，AM的長為y．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△BPM的面積S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由PN、BC平行易得△APM∽△ABC，即得到

AP

AB

=

AM

AC

，由題意代入各線段的值，即可得解．
（2）由三角形面積公式得，△BPM的面積S=

1

2

BP•AM，據(jù)（1）中條件可得到一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù)式，求x的最大值即得面積的最大值．

解答：解：（1）∵PM∥BC
∴△APM∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AM

AC

，
又∵AP=10-2x，AB=10，AM=y，AC=5，
∴y=-x+5；
∵x≥0，y≥0，
∴自變量x的取值范圍為0≤x≤5．

（2）S=

1

2

BP•AM
=

1

2

•2x（-x+5）
=-x²+5x
=-(x-

5

2

)2+

25

4

．
∴當(dāng)x=

5

2

時(shí)，S有最大值，最大值為

25

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的判定、三角形的面積及涉及到二次函數(shù)的最值問題，找到等量比是解題的關(guān)鍵．