Question

6．已知⊙O的半徑為5，且點(diǎn)O在直線l上，小明用一個(gè)三角板學(xué)具（∠ABC=90°，AB=BC=8）做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：如圖，若A、B兩點(diǎn)在⊙O上滑動(dòng)，直線BC分別與⊙O、l相交于點(diǎn)D、E．
（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)OE=6時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AD．根據(jù)90°圓周角所對(duì)的弦是直角可知AD是圓O的直徑，在△ABD中，依據(jù)勾股定理可求得BD的長(zhǎng)；
（2）連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BD，垂足為F．由垂徑定理可求得FD、BF的長(zhǎng)，然后在△FOE中，依據(jù)勾股定理可求得EF的長(zhǎng)，從而可求得BE的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖1所示：連接AD．

∵∠ABD=90°，
∴AD是圓O的直徑．
∴AD=10．
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=6．
（2）如圖2所示：連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BD，垂足為F．

∵OF⊥BD，BD=6，
∴BF=FD=3．
在Rt△ODF中，OF=$\sqrt{O{D}^{2}-F{D}^{2}}$=4．
在Rt△OFE中，EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴BE=FB+EF=3+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是垂徑定理、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握此類問(wèn)題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．