Question

【題目】某甜品店用 A，B 兩種原料制作成甲、乙兩款甜品進行銷售，制作每份甜品的原料所需用量如下表所示．該店制作甲款甜品 x 份，乙款甜品 y 份，共用去A 原料 2000 克．

原料 款式	A 原料(克)	B 原料(克)
甲款甜品	30	15
乙款甜品	10	20

（1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)表達式．

（2）已知每份甲甜品的利潤為 a 元(a 正整數(shù))， 每份乙甜品的利潤為 2 元. 假設(shè)兩款甜品均能全部賣出．

①當 a=3 時，若獲得總利潤不少于 220 元，則至少要用去 B 原料多少克？

②現(xiàn)有 B 原料 3100 克，要使獲利為 450 元且盡量不浪費原材料，甲甜品的每份利潤應(yīng)定為多元？

Answer 1

【答案】（1）y=200-3x；（2）①至少要用去 B 原料 1300 克；②甲甜品的每份利潤應(yīng)定為 8 元．

【解析】

（1）根據(jù)甲、乙兩種甜品所需A種原料及總的用料量得出30x+10y=2000，變換成函數(shù)解析式形式即可；

（2）①根據(jù)利潤的要求得3x+2y≥220與（1）中的關(guān)系求出變量y的范圍，把B原料用量表示成x、y的函數(shù)，即可利用y的范圍求出B原料使用的最小值；

②根據(jù)B原料的總量15x+20y≤3100與利潤總量ax+2y=450的要求，結(jié)合不等式與方程，求正整數(shù)解即可解決問題．

（1）由題可得：30x+10y=2000，即y=200﹣3x，故y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=200﹣3x；

（2）①由題意：3x+2y≥220，而由（1）可知3x=200﹣y代入可得：

　200﹣y+2y≥220

∴y≥20．

設(shè)B原料的用量為w，則w=15x+20y，即w=15y+1000．

∵k=15，w隨y的增大而增大，∴當y取最小值20時，可得w的最小值為15×20+1000=1300．

故若獲得總利潤不少于220元，則至少要用去B原料1300克．

②由題意：15x+20y≤3100

即：15x+20（200﹣3x）≤3100，解得：x≥20．

又∵ax+2y=450，即：ax+2（200﹣3x）=450，a=6，而a，x均為正整數(shù)且x≥20，于是可得：x=50，a=7或x=25，a=8．

當x=50時，需要B原料1750；

當x=25時，需要B原料2875，為了盡量不浪費原材料，a應(yīng)取8．

故在設(shè)定條件下，甲甜品的每份利潤應(yīng)定為8元．