【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)二次函數(shù)y1=x2+bx+a,y2=ax2+bx+1(a,b是實數(shù),a≠0).
(1)若函數(shù)y1的對稱軸為直線x=3,且函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(a,b),求函數(shù)y1的表達式.
(2)若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(r,0),其中r≠0,求證:函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點(,0).
(3)設(shè)函數(shù)y1和函數(shù)y2的最小值分別為m和n,若m+n=0,求m,n的值.
【答案】(1)y1=x2﹣6x+2或y1=x2﹣6x+3;(2)見解析;(3)m=n=0.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法解決問題即可.
(2)函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(r,0),其中r≠0,可得r2+br+a=0,推出1+=0,即a()2+b+1=0,推出是方程ax2+bx+1的根,可得結(jié)論.
(3)由題意a>0,可得m=,n=,根據(jù)m+n=0,構(gòu)建方程可得結(jié)論.
解:(1)由題意,得到﹣=3,解得b=﹣6,
∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(a,﹣6),
∴a2﹣6a+a=﹣6,
解得a=2或3,
∴函數(shù)y1=x2﹣6x+2或y1=x2﹣6x+3.
(2)∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(r,0),其中r≠0,
∴r2+br+a=0,
∴1+=0,
即a()2+b+1=0,
∴是方程ax2+bx+1的根,
即函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點(,0).
(3)由題意a>0,∴m=,n=,
∵m+n=0,
∴+0,
∴(4a﹣b2)(a+1)=0,
∵a+1>0,
∴4a﹣b2=0,
∴m=n=0.
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【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Rt△OAB的直角頂點B在x軸的正半軸上,點A在第一象限,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過OA的中點C.交AB于點D,連結(jié)CD.若△ACD的面積是2,則k的值是_____.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,DE,BF分別平分∠ADC,∠ABC,并交線段AB,CD于點E,F(點E,B不重合).在線段BF上取點M,N(點M在BN之間),使BM=2FN.當(dāng)點P從點D勻速運動到點E時,點Q恰好從點M勻速運動到點N.記QN=x,PD=y,已知,當(dāng)Q為BF中點時,.
(1)判斷DE與BF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求DE,BF的長;
(3)若AD=6.①當(dāng)DP=DF時,通過計算比較BE與BQ的大小關(guān)系;②連結(jié)PQ,當(dāng)PQ所在直線經(jīng)過四邊形ABCD的一個頂點時,求所有滿足條件的x的值.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,∠BAC=45°,AD⊥BC于點D,延長AD交⊙O于點E,若BD=4,CD=1,則DE的長是_____.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知函數(shù)y1=x2+ax+1,y2=x2+bx+2,y3=x2+cx+4,其中a,b,c是正實數(shù),且滿足b2=ac.設(shè)函數(shù)y1,y2,y3的圖象與x軸的交點個數(shù)分別為M1,M2,M3,( 。
A.若M1=2,M2=2,則M3=0B.若M1=1,M2=0,則M3=0
C.若M1=0,M2=2,則M3=0D.若M1=0,M2=0,則M3=0
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【題目】隨著通訊技術(shù)的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式變得更多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機調(diào)查了部分學(xué)生,將統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共調(diào)查了______名學(xué)生;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為______;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校共有1500名學(xué)生,請估計該校最喜歡用“微信”溝通的學(xué)生有多少名?
(4)某天甲、乙兩名同學(xué)都想從“微信”、“QQ”、“電話”三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選擇同一種溝通方式的概率.
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【題目】為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,某校七年級準(zhǔn)備開設(shè)“神奇魔方”、“魅力數(shù)獨”、“數(shù)學(xué)故事”、“趣題巧解”四門選修課(每位學(xué)生必須且只選其中一門).學(xué)校對七年級部分學(xué)生進行選課調(diào)查,得到如圖所示的統(tǒng)計圖.
(1)根據(jù)統(tǒng)計圖,本次選課共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)若該校七年級有960名學(xué)生,請計算出選“神奇魔方”的人數(shù);
(3)學(xué)校將選“神奇魔方”的學(xué)生分成人數(shù)相等的A、B、C三個班,小聰、小慧都選擇了“神奇魔方”.已知小聰不在A班,用列表法或畫樹狀圖法,求小聰和小慧被分到同一個班的概率.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,∠A=∠CBD.
(1)求證:BC是⊙O的切線.
(2)若∠C=35°,AB=6,求的長(結(jié)果保留π).
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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1,0),與y軸交于C(0,-2);直線經(jīng)過點A且與拋物線交于另一點B.
(1)直接寫出拋物線的解析式 ;
(2)如圖(1),點M是拋物線上A,B兩點間的任一動點,MN⊥AB于點N,試求出MN的最大值 ,并求出MN最大時點M的坐標(biāo);
(3)如圖(2),連接AC,已知點P的坐標(biāo)為(2,1),點Q為對稱軸左側(cè)的拋物線上的一動點,過點Q作QF⊥x軸于點F,是否存在這樣的點Q,使得∠FQP=∠CAO.若存在,請直接寫出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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